3 Una $\textit{sucesión cúbica}$ es una sucesión de enteros dada por $a_n = n^3 + bn^2 + cn + d$, donde $b, c$ y $d$ son constantes enteras y $n$ recorre todos los enteros, incluyendo los enteros negativos. $\textbf{(a)}$ Demuestre que existe una sucesión cúbica tal que los únicos términos de la sucesión que son cuadrados de enteros son $a_{2015}$ y $a_{2016}$. $\textbf{(b)}$ Determine los posibles valores de $a_{2015} \cdot a_{2016}$ para una sucesión cúbica que satisface la condición en la parte $\textbf{(a)}$.

4 Una sucesión finita $x_1,\dots,x_r$ de enteros positivos es un palíndromo si $x_i=x_{r+1-i}$ para todo entero $1 \le i \le r$. Sea $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Para un entero positivo $j \ge 2$, denotamos por $a[j]$ la subsecuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_{j-1}$. Suponga que existe una sucesión infinita estrictamente creciente $b_1,b_2,\dots$ de enteros positivos tal que para todo entero positivo $n$, la subsecuencia $a[b_n]$ es un palíndromo y $b_{n+2} \le b_{n+1}+b_n$. Demuestre que existe un entero positivo $T$ tal que $a_i=a_{i+T}$ para todo entero positivo $i$.

1 Sea $f$ una función que satisface las siguientes condiciones: $(i)$ Si $x > y$ y $f(y) - y \geq v \geq f(x) - x$, entonces $f(z) = v + z$, para algún número $z$ entre $x$ e $y$. $(ii)$ La ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución, y entre las soluciones de esta ecuación, hay una que no es menor que todas las demás soluciones; $(iii)$ $f(0) = 1$. $(iv)$ $f(1987) \leq 1988$. $(v)$ $f(x)f(y) = f(xf(y) + yf(x) - xy)$. Encuentre $f(1987)$. Propuesto por Australia. Amir

4 Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$. Demuestre la desigualdad \[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\] ¿En qué casos se cumple la igualdad? Propuesto por Francia. Amir

2 Encuentre los valores mínimo y máximo de $ S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros positivos que satisfacen $a + c = 20202$ y $b + d = 20200$ .

1c Sección de problemas #1 c) Encuentre todos los pares $(m, n)$ de enteros no negativos para los cuales $m^2+2.3^n=m(2^{n+1}-1).$ khan.academy

6 Para cada número real $x_1$, construya la sucesión $x_1,x_2,\ldots$ definiendo: \[ x_{n+1}=x_n(x_n+{1\over n}). \] Demuestre que existe exactamente un valor de $x_1$ tal que $0<x_n<x_{n+1}<1$ para todo $n$.

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sean $I, J, K$ los incentros de los triángulos $ABC$, $ABM$, $ACM$, respectivamente. Sean $P, Q$ puntos en las rectas $MK$, $MJ$, respectivamente, tales que $\angle AJP=\angle ABC$ y $\angle AKQ=\angle BCA$. Sea $R$ la intersección de las rectas $CP$ y $BQ$. Demuestre que las rectas $IR$ y $BC$ son perpendiculares.

4 Encuentre todos los pares de enteros positivos \( n \) y \( x \) tales que \[ 1^n + 2^n + 3^n + \cdots + n^n = x! \] (Petko Lazarov, Bulgaria)

2a Sección de problemas #2 a) Si $$ax+by=7$$ $$ax^2+by^2=49$$ $$ax^3+by^3=133$$ $$ax^4+by^4=406$$, encuentre el valor de $2014(x+y-xy)-100(a+b).$ khan.academy