10 Sean $S_1$ y $S_2$ dos esferas con radios distintos que se tocan externamente. Las esferas se encuentran dentro de un cono $C$, y cada esfera toca al cono en un círculo completo. Dentro del cono hay $n$ esferas sólidas adicionales dispuestas en un anillo de tal manera que cada esfera sólida toca al cono $C$, a ambas esferas $S_1$ y $S_2$ externamente, así como a las dos esferas sólidas vecinas. ¿Cuáles son los valores posibles de $n$? Propuesto por Islandia. Amir

3 Alice y Bob juegan al siguiente juego. Para comenzar, Alice organiza los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra puede colocarse sobre el número $k$ como máximo $k$ veces. Los dos jugadores alternan turnos comenzando con Alice. El primer jugador que no pueda realizar un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$, determine quién tiene una estrategia ganadora.

3 Hay $2024$ matemáticos sentados en una fila junto al río Tisza. Cada uno de ellos trabaja exactamente en un tema de investigación y, si dos matemáticos trabajan en el mismo tema, todos los que están sentados entre ellos también trabajan en el mismo. Marvin intenta determinar, para cada par de matemáticos, si trabajan en el mismo tema. Se le permite hacer a cada matemático la siguiente pregunta: "¿Cuántos de estos $2024$ matemáticos trabajan en tu tema?". Él hace las preguntas una por una, por lo que conoce todas las respuestas anteriores antes de hacer la siguiente. Determine el entero positivo $k$ más pequeño tal que Marvin siempre pueda lograr su objetivo con un máximo de $k$ preguntas.

1 Encuentre una forma de escribir todos los dígitos del $1$ al $9$ en una sucesión y sin repetición, de tal manera que los números determinados por cualesquiera dos dígitos consecutivos de la sucesión sean divisibles por $7$ o $13$.

5 Encuentre todas las cuádruplas de enteros positivos $(k,a,b,c)$ tales que $2^k=a!+b!+c!$ y $a\geq b\geq c$.

2 Demuestre que para todo entero $n$ distinto de cero, existen infinitas ternas de enteros distintos de cero $a, b$ y $c$ que satisfacen las condiciones: 1. $a + b + c = n$ 2. $ax^2 + bx + c = 0$ tiene raíces racionales.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AC \ne BC$. En el triángulo $ABC$, sea $G$ el baricentro, $I$ el incentro y $O$ su circuncentro. Demuestre que $IG$ es paralelo a $AB$ si y solo si $CI$ es perpendicular a $IO$.

6 Un conjunto de $n$ puntos en el espacio euclidiano tridimensional, de los cuales no hay cuatro que sean coplanares, se divide en dos subconjuntos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$. Un árbol $\mathcal{AB}$ es una configuración de $n-1$ segmentos, cada uno de los cuales tiene un extremo en $\mathcal{A}$ y un extremo en $\mathcal{B}$, y tal que ningún segmento forma una poligonal cerrada. Un árbol $\mathcal{AB}$ se transforma en otro de la siguiente manera: elija tres segmentos distintos $A_1B_1$, $B_1A_2$ y $A_2B_2$ en el árbol $\mathcal{AB}$ tales que $A_1$ esté en $\mathcal{A}$ y $|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|$, y elimine el segmento $A_1B_1$ para reemplazarlo por el segmento $A_1B_2$. Dado cualquier árbol $\mathcal{AB}$, demuestre que toda sucesión de transformaciones sucesivas llega a su fin (no es posible realizar más transformaciones) después de un número finito de pasos.

2 Cada punto blanco en la figura de abajo debe completarse con uno de los enteros $1, 2, ..., 9$, sin repeticiones, de tal manera que la suma de los tres números en el círculo externo sea igual a la suma de los cuatro números en cada círculo interno que no pertenecen al círculo externo. $(a)$ Demuestre una solución. $(b)$ Demuestre que, en cualquier solución, el número $9$ debe pertenecer al círculo externo.

7 Defina la concatenación de enteros positivos como escribir sus representaciones en base diez uno tras otro e interpretar el resultado como la representación en base diez de un único entero positivo. Encuentre todos los enteros positivos $k$ para los cuales existe un entero $N_k$ con la siguiente propiedad: para todo $n \ge N_k$, podemos concatenar los números $1, 2, \dots, n$ en algún orden de modo que el resultado sea un número divisible por $k$. Observación: La representación en base diez de un entero positivo nunca comienza con cero. Ejemplo: Concatenar $15, 14, 7$ en este orden resulta en $15147$.