2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos primos entre sí con $k<n$. Cada número en el conjunto $M=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$ está coloreado de azul o de blanco. Para cada $i$ en $M$, tanto $i$ como $n-i$ tienen el mismo color. Para cada $i\ne k$ en $M$, tanto $i$ como $|i-k|$ tienen el mismo color. Demuestre que todos los números en $M$ deben tener el mismo color.

2a Sección de problemas #2 a) Si $$ax+by=7$$ $$ax^2+by^2=49$$ $$ax^3+by^3=133$$ $$ax^4+by^4=406$$, encuentre el valor de $2014(x+y-xy)-100(a+b).$ khan.academy

5 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC=60^\circ$. Sea $D$ un punto en la recta $AC$ tal que $AB = AD$ y $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. Suponga que existen dos puntos $E \ne F$ en el circuncírculo del triángulo $DBC$ tales que $AE = AF = BC$. Demuestre que la recta $EF$ pasa por el circuncentro de $ABC$.

2 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[yf(x+1)=f(x+y-f(x))+f(x)f(f(y))\] para todo $x,y \in \mathbb{R}$.

3 Llamamos a un entero positivo $n{}$ peculiar si, para cualquier divisor positivo $d{}$ de $n{}$, el entero $d(d + 1)$ divide a $n(n + 1).$ Demuestre que para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A, B, C$ y $D{}$ se cumple lo siguiente: \[\gcd(A, B, C, D) = 1.\]

19 Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$ , $\alpha+\beta > \gamma$ , $ \beta+\gamma > \alpha$ , $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestre que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma $ se puede construir un triángulo y que su área no es mayor que \[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\] Propuesto por la Unión Soviética, Amir

5 Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que las siguientes condiciones se cumplen para todo par de enteros positivos $(x, y)$: $(i)$: $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos. $(ii)$: Si $x \nmid y$ y $y \nmid x$, entonces: $$\gcd(f(x), f(y)) > f(\gcd(x, y))$$

2 En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona habla con todos los demás en la fiesta, excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o camarillas $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja es miembro de la misma camarilla, pero para cualquier otro par de personas existe exactamente una camarilla a la que ambos miembros pertenecen. Demuestre que si $n \geq 4$, entonces $k \geq 2n$. Propuesto por USA. Amir

3 Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i=0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestre que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\ge o(Q_{i_1}). \]

4 Desde un punto $K$ de un círculo, se trazan una cuerda $KA$ (el arco $AK$ es mayor que $90^{o}$) y una tangente $l$. La recta que pasa por el centro del círculo y que es perpendicular al radio $OA$, corta a $KA$ en $B$ y a $l$ en $C$. Demuestre que $KC = BC$.