5 Sean $m,n$ enteros positivos tales que $m\ge 2$ y $n< \frac{3}{2}(m-1)$. En un país hay $m$ ciudades y $n$ carreteras, cada carretera conecta dos ciudades diferentes, y puede haber múltiples carreteras entre dos ciudades. Demuestre que existe una forma de separar las ciudades en dos grupos $\alpha$ y $\beta$, donde todas las carreteras que conectan una ciudad en $\alpha$ con una ciudad en $\beta$ se convierten en autopistas, y se satisfacen las siguientes condiciones: ambos grupos tienen al menos una ciudad, y para cada ciudad, el número de autopistas que salen de dicha ciudad no excede $1$.

5 Dados $2k+1$ puntos en una recta numérica coloreados con $k$ colores. Demuestre que para tres puntos adyacentes $A$, $B$ y $C$, si $A$ puede moverse a $C$ y $C$ a $A$, entonces existen dos puntos que pueden intercambiar sus lugares con el mismo color.

3 Tenemos un gran suministro de sombreros negros, blancos, rojos y verdes. Queremos entregar $8$ de estos sombreros a $8$ estudiantes que están sentados alrededor de una mesa redonda. Encuentre el número de formas de hacerlo en cada uno de los siguientes casos (asumiendo para los propósitos de este problema que los estudiantes no cambiarán sus lugares y que los sombreros del mismo color son idénticos): a) Cada sombrero que se utilice debe ser rojo o verde. b) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color. c) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color, y cada par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes. d) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color, y ningún par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes. e) No hay restricciones sobre el número de sombreros de cada color que se deben utilizar, pero ningún par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes.

4 En un triángulo acutángulo $ABC$, sea $D$ un punto en el segmento $BC$. Sean $R$ y $S$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $DR$ corta al circuncírculo de $BDS$ en $X$, con $X \neq D$. De manera similar, la recta $DS$ corta al circuncírculo de $CDR$ en $Y$, con $Y \neq D$. Demuestre que si $XY$ es paralelo a $RS$, entonces $D$ es el punto medio de $BC$.

4 Sea un círculo tangente a un círculo dado en el punto $A$ y tangente a su cuerda $BC$ en el punto $D$. Suponga que este círculo corta las extensiones de $AC$ y $AB$ en los puntos $C_1$ y $B_1$, respectivamente. Demuestre que $$BD \cdot CC_1 = CD \cdot BB_1.$$

6 En una pizarra están escritos los números $1, 2, 3, \dots, 170$. Se desea colorear cada uno de estos números con $k$ colores $C_1, C_2, \dots, C_k$, de tal manera que se satisfaga la siguiente condición: para cada $i$ con $1 \leq i < k$, la suma de todos los números con el color $C_i$ divide a la suma de todos los números con el color $C_{i+1}$. Determine el mayor valor posible de $k$ para el cual es posible realizar dicha coloración.

4 Ana y Beto juegan en una cuadrícula de $2022 \times 2022$. Ana colorea de rojo algunos lados de los cuadrados del tablero, de tal manera que ningún cuadrado tenga dos lados rojos que compartan un vértice. A continuación, Beto debe colorear un camino azul que conecte dos de las cuatro esquinas del tablero, siguiendo los lados de los cuadrados y sin utilizar ningún segmento rojo. Si Beto tiene éxito, él es el ganador; de lo contrario, Ana gana. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

2 En cada celda de una cuadrícula de \(n \times n\), se debe escribir uno de los números \(0\), \(1\) o \(2\). Determine todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe una forma de llenar la cuadrícula de \(n \times n\) tal que, al calcular la suma de los números en cada fila y en cada columna, se obtengan los números \(1, 2, \ldots, 2n\) en algún orden.

2 Sea $n\geq 3$ un número impar. Jugaremos un juego utilizando una cuadrícula de $n$ por $n$. El juego consta de $n^2$ turnos; en cada turno, realizaremos la siguiente operación secuencialmente: $\bullet$ Elegiremos una casilla con un entero no escrito y escribiremos un entero entre 1 y $n^2$. Podemos escribir cualquier entero solo una vez durante el juego. $\bullet$ Para cada fila y columna que incluya la casilla, si la suma de los enteros es un múltiplo de $n$, obtendremos 1 punto (si ambas sumas son múltiplos de $n$, obtendremos 2 puntos). Determine el valor máximo posible de los puntos como la suma total que podemos obtener al finalizar el juego.

3 Se nos da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con un punto $E$ en la diagonal $AC$ tal que $AD=AE$ y $CB=CE$. Sea $M$ el centro del circuncírculo $k$ del triángulo $BDE$. El círculo $k$ corta a la recta $AC$ en los puntos $E$ y $F$. Demuestre que las rectas $FM$, $AD$ y $BC$ concurren en un punto. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 3) Martin N.