3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb R^{+} \rightarrow \mathbb R^{+}$ tales que $$f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x)$$ para todo $x,\ y\in\mathbb{R^{+}}$.

3 Dado un número $n\in\mathbb N$, una sucesión cuyos miembros son cualquiera de los números $1,2,\ldots,n$ se denomina sucesión universal si, entre los pares de miembros consecutivos, se encuentran todos los pares posibles $(i,j)$, $1\le i,j\le n$. Encuentre el número de miembros de la sucesión universal con la longitud más corta.

4 Sean $a_1,a_2,\dots,a_{2021}$ $2021$ enteros que satisfacen \[ a_{n+5}+a_n>a_{n+2}+a_{n+3}\] para todo entero $n=1,2,\dots,2016$. Encuentre el valor mínimo posible de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo entre $a_1,a_2,\dots,a_{2021}$.

2 Sean $M$ y $N$ puntos en los lados $AB$ y $BC$ del $\triangle ABC$ tales que $$\frac{BC}{BN} - \frac{BA}{BM} = k \neq 0,$$ donde $k$ es una constante. (a) Demuestre que todas las rectas $MN$ se cortan en un punto común. (b) Determine la condición para que el punto de intersección se encuentre en el circuncírculo del $\triangle ABC$, y exprese $k$ en términos de los lados del triángulo.

2 Encuentre todos los enteros positivos $x,y,z$ que satisfacen: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$

4 a) Tenemos una sucesión geométrica de $3$ términos. Si la suma de estos términos es $26$ y la suma de sus cuadrados es $364$, encuentre los términos de la sucesión. b) Suponga que $a,b,c,u,v,w$ son números reales positivos, y que tanto $a,b,c$ como $u,v,w$ son sucesiones geométricas. Suponga también que $a+u,b+v,c+w$ forman una sucesión aritmética. Demuestre que $a=b=c$ y $u=v=w$. c) Sean $a,b,c,d$ números reales (no todos cero), y sea $f(x,y,z)$ el polinomio en tres variables definido por $$f(x,y,z) = axyz + b(xy + yz + zx) + c(x+y+z) + d$$ . Demuestre que $f(x,y,z)$ es reducible si y solo si $a,b,c,d$ es una sucesión geométrica.

4 Encuentre todos los números reales $a$ y $b$ que satisfacen la relación $2(a^2 + 1)(b^2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1)$

3 Igual que el Problema Senior

10 Sean $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ puntos tales que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $ABDE$ es un paralelogramo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $S$ y los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $F$. Demuestre que $\sphericalangle{AFS}=\sphericalangle{ECD}$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 6) Martin N.

3 Considere $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en un círculo. ¿De cuántas formas es posible colorear estos puntos con $p$ colores, de tal manera que cada dos puntos vecinos estén coloreados con dos colores diferentes?