6 Para cada entero $n\geqslant2$, determine la mayor constante real $C_n$ tal que para todos los números reales positivos $a_1, \ldots, a_n$ se tiene \[\frac{a_1^2+\ldots+a_n^2}{n}\geqslant\left(\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right)^2+C_n\cdot(a_1-a_n)^2\mbox{.}\] (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 2) Martin N.

6 ¿Existe una sucesión $(a_n)$ de números naturales tal que las diferencias $\{a_{n+1}-a_n\}$ tomen cada valor natural exactamente una vez y las diferencias $\{a_{n+2}-a_n\}$ tomen cada valor natural mayor que $2015$ exactamente una vez? A. Golovanov

4 Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que en la representación decimal de cada uno de los números $\sqrt{n}$, $\sqrt[3]{n}, \dots, \sqrt[10]{n}$, los dígitos $2015$ aparecen inmediatamente después del punto decimal. A. Golovanov

8 Cuatro sabios están de pie alrededor de un baobab no transparente. Cada uno de los sabios lleva un sombrero rojo, azul o verde. Un sabio solo ve a sus dos vecinos. Cada uno de ellos debe adivinar al mismo tiempo el color de su propio sombrero. Si al menos un sabio adivina correctamente, los sabios ganan. Ellos pudieron consultar antes de que comenzara el juego. ¿Cómo deben actuar para ganar?

7 En cada vértice de un $n$-gono regular hay una fortaleza. En el mismo instante, cada fortaleza dispara a una de las dos fortalezas más cercanas y la alcanza. El resultado del disparo es el conjunto de las fortalezas alcanzadas; no distinguimos si una fortaleza fue alcanzada una o dos veces. Sea $P(n)$ el número de resultados posibles del disparo. Demuestre que para todo entero positivo $k\geqslant 3$, $P(k)$ y $P(k+1)$ son primos entre sí. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 3) Martin N.

11 Para un entero no negativo $n$, defina $a_n$ como el entero positivo con representación decimal \[1\underbrace{0\ldots0}_{n}2\underbrace{0\ldots0}_{n}2\underbrace{0\ldots0}_{n}1\mbox{.}\] Demuestre que $\frac{a_n}{3}$ es siempre la suma de dos cubos perfectos positivos, pero nunca la suma de dos cuadrados perfectos. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 7) Martin N.

6 Sea $n \geq 2$ un entero. Lucía elige $n$ números reales $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tales que $\left| x_i-x_j \right|\geq 1$ para todo $i\neq j$. Luego, en cada casilla de una cuadrícula de $n \times n$, escribe uno de estos números, de tal manera que ningún número se repita en la misma fila o columna. Finalmente, para cada casilla, calcula el valor absoluto de la diferencia entre el número en la casilla y el número en la primera casilla de su misma fila. Determine el valor más pequeño que puede tomar la suma de los $n^2$ números que Lucía calculó.

7 $CL$ es la bisectriz del $\angle C$ del $ABC$ e interseca al circuncírculo en $K$. $I$ es el incentro del $ABC$. $IL=LK$. Demuestre que $CI=IK$. D. Shiryaev

4 Para cada entero $n$ ($n \ge 2$), sea $f(n)$ la suma de todos los enteros positivos que son a lo sumo $n$ y no son primos relativos con $n$. Demuestre que $f(n+p) \neq f(n)$ para cada $n$ de este tipo y cada primo $p$.

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. El círculo con diámetro $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ respectivamente. Denotemos por $O$ al punto medio del lado $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se cortan en $R$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto común que yace sobre el lado $BC$. Valentin