5 Para cualquier entero positivo $n$, sea $f(n)=\tau(n)+\sigma(n)$, donde $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ denotan el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$, respectivamente. (a) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \not\equiv f(n+1) \pmod 4$. (b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \equiv f(n+1) \pmod 4$.

2025.8.3 Los círculos $\Gamma$ y $\Omega$ son tangentes internamente entre sí en el punto $A$. El círculo $\Omega$ se encuentra dentro del círculo $\Gamma$. Se elige un punto $P$ diferente del punto $A$ en el círculo $\Gamma$. Las cuerdas $P R$ y $P Q$ del círculo $\Gamma$ son tangentes al círculo $\Omega$ en los puntos $B$ y $C$, respectivamente. La recta $A P$ corta al círculo $\Omega$ en el punto $X$ $(X \neq A)$. Las rectas $A C$ y $B X$ se cortan en el punto $Y$ (el punto $C$ se encuentra entre los puntos $A$ y $Y$, el punto $X$ se encuentra entre los puntos $B$ y $Y$). Resulta que el punto $Y$ se encuentra en el círculo $\Gamma$. Demuestre que $A Q \cdot C R \neq A R \cdot B Q$.

8 En un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB>AC$, sean $D, E, F$ las proyecciones de $A, B, C$ sobre los lados opuestos, respectivamente. La mediatriz de $BF$ corta a $DE$ en $P$, y la mediatriz de $CE$ corta a $DF$ en $Q$. Sea $K$ un punto en la recta $PQ$ tal que $\angle PKE=\angle PKF$, y sea $DK$ una recta que corta al circuncírculo del $\triangle KEF$ en $T \neq K$. Demuestre que $\angle ATE=\angle ATF$.

1 Javier multiplica cuatro dígitos, no necesariamente diferentes, y obtiene un número que termina en $7$. Determine cuánto puede valer la suma de los cuatro dígitos que Javier multiplica. Dé todas las posibilidades.

1 El número 2021 es fantabuloso. Para cualquier entero positivo $m$, si algún elemento del conjunto $\{m, 2m+1, 3m\}$ es fantabuloso, entonces todos los elementos son fantabulosos. ¿Se deduce de esto que el número $2021^{2021}$ es fantabuloso?

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y $AB>BC$. Sea $E$ un punto en $AC$ tal que $AE<EC$. Sea $l$ la recta que pasa por $E$ perpendicular a $AC$, que interseca a los circuncírculos de $\triangle AED$, $\triangle BED$ y $\triangle CED$ en $X$, $Y$ y $Z$ respectivamente, de tal manera que $E, Y, Z, X$ se encuentran sobre $l$ en ese orden. Si $AX=BY=CZ$, demuestre que $BD$ y $OY$ se intersecan en el incentro de $\triangle ABC$.

2 Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ tal que $AB||DE$, $BC||EF$, $CD||FA$. Los puntos $M, N, K$ son los puntos comunes de las rectas $BD$ y $AE$, $AC$ y $DF$, $CE$ y $BF$ respectivamente. Demuestre que las perpendiculares trazadas desde $M, N, K$ a las rectas $AB, CD, EF$ respectivamente son concurrentes.

4 Para un número real $\lambda$ considere la afirmación $P(\lambda)$: Existe un entero positivo $n$ y $3n$ números reales distintos dos a dos $a_1, a_2, \cdots a_n \; ; \; b_1, b_2, \cdots, b_n \; ; \; c_1, c_2, \cdots c_n$ tales que: \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, a_i>b_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, b_i>c_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, c_i>a_j \}| \ge \lambda n^2 \] Demuestre que si $\lambda < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ entonces $P(\lambda)$ es verdadera y, en caso contrario, es falsa.

2 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ tales que la ecuación \[f(xf(x)+y) = f(y) + x^2\] se cumple para todos los números racionales $x$ e $y$. Aquí, $\mathbb{Q}$ denota el conjunto de los números racionales.

1 Los enteros positivos $1, 2, ..., 121$ están dispuestos en las casillas de una tabla de $11 \times 11$. Dima calculó el producto de los números en cada fila y Sasha calculó el producto de los números en cada columna. ¿Podrían obtener el mismo conjunto de $11$ números? Propuesto por S. Berlov