4 En un cuadrado $ABCD$ de diagonales $AC$ y $BD$, llamamos $O$ al centro del cuadrado. Se construye un cuadrado $PQRS$ con lados paralelos a los de $ABCD$ con $P$ en el segmento $AO$, $Q$ en el segmento $BO$, $R$ en el segmento $CO$, $S$ en el segmento $DO$. Si el área de $ABCD$ es igual al doble del área de $PQRS$, y $M$ es el punto medio del lado $AB$, calcule la medida del ángulo $\angle AMP$.

8 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=1$. Demuestre la siguiente desigualdad \[ \sum \frac{a}{a^3+bc} >3 . \] Propuesto por A. Khrabrov

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, demuestre que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos. Marin Hristov y Bozhidar Dimitrov, Bulgaria

2 Demuestre que para todos los números reales no negativos $x,y,z$, no todos iguales a $0$, se cumple la siguiente desigualdad: $$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$$ Determine todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad. Milan Mitreski, Serbia

1 Sea $\{x_n \}$ una sucesión de números reales tal que $x_1=1$ y para todo $n \ge 2$ tenemos que, entre todas las permutaciones $a_1, a_2, \cdots, a_n$ de $\{1, 2, \cdots, n \}$, la suma $a_1x_1+a_2x_2+ \cdots + a_nx_n$ tiene un mínimo en $0$. Encuentre todos los valores posibles de $x_{2025}$.

1 Pedro escribe todos los números con cuatro dígitos diferentes que se pueden formar con los dígitos $a, b, c, d$, que cumplen las siguientes condiciones: $$ a\ne 0 \, , \, b=a+2 \, , \, c=b+2 \, , \, d=c+2$$ Encuentre la suma de todos los números que escribió Pedro.

3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$, turnándose, con Alice comenzando primero. Inicialmente, la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero del $1$ al $100^2$ que aún no se haya escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números en cada fila, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números en cada columna, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Bob, Bob gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Alice; de lo contrario, nadie gana. Determine si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora y, de ser así, qué jugador tiene una estrategia ganadora. Théo Lenoir, Francia

2 Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $PQ$. Un círculo $k$ es tangente internamente a $\omega$ y al segmento $PQ$ en $C$. Sea $AB$ la tangente a $k$ perpendicular a $PQ$, con $A$ en $\omega$ y $B$ en el segmento $CQ$. Demuestre que $AC$ biseca el ángulo $\angle PAB$.

3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz externa del ángulo $A$ con las alturas de $ABC$ que pasan por $B$ y $C$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos en los segmentos $EC$ y $FB$ respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestre que los puntos $E, F, N, M$ yacen sobre un círculo.

3 En cada casilla de un tablero de $5\times 5$ está escrito $1$ o $-1$. En cada paso, el número de cada una de las $25$ celdas es reemplazado por el resultado de la multiplicación de los números de todas sus celdas vecinas. Inicialmente tenemos el tablero de la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/d/29b8e5df29526630102ac400a3a2b2f8fee4f7.gif Demuestre cómo luce el tablero después de $2004$ pasos. Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado en común.