8.4 Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo equilátero con lados de longitud $n$ se divide en triángulos equiláteros con longitudes de lado $1$, formando una red triangular. Llame "importante" a un triángulo equilátero con vértices en la red. Sea $p_k$ el número de pares no ordenados de vértices en la red que participan en exactamente $k$ triángulos importantes. Encuentre (como una función de $n$) (a) $p_0+p_1+p_2$ (b) $p_1+2p_2$

1 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ para las cuales \[f(x+y)=f(x-y)+f(f(1-xy))\] se cumple para todos los números reales $x$ e $y$

1 Desde un punto $A$ fuera de un círculo de radio $R$, se trazan una línea secante que pasa por el centro y una línea tangente. La secante corta al círculo en $C$ y $D$ ($AC < AD$), y la tangente toca al círculo en $B$. Encuentre la longitud de $CB$ si $AC = a$. MR.1

2 Sea $S$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $S_{x}, S_{y}, S_{z}$ los conjuntos que consisten en las proyecciones ortogonales de los puntos de $S$ sobre los planos $yz$, $zx$ y $xy$, respectivamente. Demuestre que \[ \vert S\vert^{2}\leq \vert S_{x} \vert \cdot \vert S_{y} \vert \cdot \vert S_{z} \vert, \] donde $\vert A \vert$ denota el número de elementos en el conjunto finito $A$. Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular desde dicho punto al plano.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ un punto del lado $BC$. Considere los puntos $E, Z$ en la recta $AD$ tales que $EB \perp AB$ y $ZC \perp AC$, y los puntos $H, T$ en la recta $BC$ tales que $EH \parallel AC$ y $ZT \parallel AB$. El circuncírculo del triángulo $BHE$ corta por segunda vez a la recta $AB$ en el punto $M$ ($M \ne B$) y el circuncírculo del triángulo $CTZ$ corta por segunda vez a la recta $AC$ en el punto $N$ ($N \ne C$). Demuestre que las rectas $MH$, $NT$ y $AD$ son concurrentes.

5 Tenemos un tablero cuadriculado de $4 \times 4$. Definimos la separación entre dos casillas como el número mínimo de movimientos que un caballo de ajedrez debe realizar para ir de una casilla a la otra (usando movimientos de caballo). Tres casillas $A, B, C$ forman un buen trío si las tres separaciones entre $A$ y $B$, entre $A$ y $C$ y entre $B$ y $C$ son iguales. Determine el número de buenos tríos que se forman en el tablero. Aclaración: En cada movimiento, el caballo se desplaza $2$ casillas en dirección horizontal más una casilla en dirección vertical, o se desplaza $2$ casillas en dirección vertical más una casilla en dirección horizontal.

3 Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$ se define como el mayor entero tal que, para todo entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$ puede escribirse como la suma de $\,k\,$ cuadrados positivos. a.) Demuestre que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4$. b.) Encuentre un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14$. c.) Demuestre que existen infinitos enteros $\,n\,$ tales que $\,S(n)=n^{2}-14$.

3 Dado el triángulo $ABC$, consideramos los puntos $X,Y,Z$ tales que los triángulos $ABZ,BCX,CAZ$ son equiláteros y no tienen intersección con $ABC$. Sea $B'$ el punto medio de $BC$, $N'$ el punto medio de $CY$, y $M,N$ los puntos medios de $AZ,CX$, respectivamente. Demuestre que $B'N' \bot MN$.

2 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $\forall x,y \in \mathbb{R}$ se cumple \[f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 + y\]

3 ¿Existen enteros $x,y,z,k>1$ tales que: $\text{(1)} \; x, y, z$ tienen exactamente $k$ divisores mayores que $1$. $\text{(2)} \;$ Existe una permutación $a_1, a_2, \cdots, a_k$ de los $k$ divisores de $x$ mayores que $1$ y una permutación $b_1, b_2, \cdots, b_k$ de los $k$ divisores de $y$ mayores que $1$ tales que $a_i+b_i$ para todo $1 \le i \le k$ son todos los divisores de $z$ mayores que $1$?