3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$, turnándose, con Alice comenzando primero. Inicialmente, la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero del $1$ al $100^2$ que aún no se haya escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números en cada fila, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números en cada columna, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Bob, Bob gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Alice; de lo contrario, nadie gana. Determine si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora y, de ser así, qué jugador tiene una estrategia ganadora. Théo Lenoir, Francia

2 Demuestre que para todos los números reales no negativos $x,y,z$, no todos iguales a $0$, se cumple la siguiente desigualdad: $$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$$ Determine todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad. Milan Mitreski, Serbia

3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz externa del ángulo $A$ con las alturas de $ABC$ que pasan por $B$ y $C$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos en los segmentos $EC$ y $FB$ respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestre que los puntos $E, F, N, M$ yacen sobre un círculo.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, demuestre que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos. Marin Hristov y Bozhidar Dimitrov, Bulgaria

2 Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $PQ$. Un círculo $k$ es tangente internamente a $\omega$ y al segmento $PQ$ en $C$. Sea $AB$ la tangente a $k$ perpendicular a $PQ$, con $A$ en $\omega$ y $B$ en el segmento $CQ$. Demuestre que $AC$ biseca el ángulo $\angle PAB$.

1 Sea $\{x_n \}$ una sucesión de números reales tal que $x_1=1$ y para todo $n \ge 2$ tenemos que, entre todas las permutaciones $a_1, a_2, \cdots, a_n$ de $\{1, 2, \cdots, n \}$, la suma $a_1x_1+a_2x_2+ \cdots + a_nx_n$ tiene un mínimo en $0$. Encuentre todos los valores posibles de $x_{2025}$.

7 Sea $N$ un entero positivo. Hay $N$ guijarros sobre una mesa. Alice y Bob juegan un juego tomando turnos para recoger guijarros de la mesa, comenzando Alice. En cada turno, un jugador puede realizar una de las siguientes dos operaciones: Operación A: recoger 1, 2 o 3 guijarros; Operación B: recoger 4 guijarros. A cada jugador se le permite realizar la Operación B como máximo 5 veces. El jugador que recoge los últimos guijarros gana. Determine el número de valores de $N$ en $1, 2, \ldots, 2025$ tales que Alice tiene una estrategia ganadora.

2 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $\forall x,y \in \mathbb{R}$ se cumple \[f(xf(x)+f(y)) = f(x)^2 + y\]

3 Sea $f(x):\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q}$ una función que satisface $f(x+2y)+f(2x-y)=5f(x)+5f(y)$. Encuentre todas las funciones tales.

2 El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ y $R$ es el punto medio de la hipotenusa $BC$. En el cateto mayor $AB$ se marca el punto $P$ tal que $CP = BP$ y en el segmento $BP$ se marca el punto $Q$ tal que el triángulo $PQR$ es equilátero. Si el área del triángulo $ABC$ es $27$, calcule el área del triángulo $PQR$.