5 Un rectángulo $\mathcal R$ está dividido en un conjunto $\mathcal S$ de un número finito de rectángulos más pequeños con lados paralelos a los lados de $\mathcal R$, de tal manera que no hay tres rectángulos en $\mathcal S$ que compartan una esquina común. Una hormiga se encuentra inicialmente en la esquina inferior izquierda de $\mathcal R$. En una operación, podemos elegir un rectángulo $r$ en $\mathcal S$ tal que la hormiga se encuentre actualmente en una de las esquinas de $r$, digamos $c$, y mover la hormiga a una de las dos esquinas de $r$ adyacentes a $c$. Suponga que, después de un número finito de operaciones, la hormiga termina en la esquina superior derecha de $\mathcal R$. Demuestre que algún rectángulo $r$ en $\mathcal S$ fue elegido en al menos dos operaciones.

3 Hay $169$ dígitos distintos de cero escritos alrededor de un círculo. Demuestre que pueden dividirse en $14$ bloques no vacíos de dígitos consecutivos de tal manera que, entre los $14$ números naturales formados por los dígitos en esos bloques, al menos $13$ de ellos sean divisibles por $13$ (los dígitos en cada bloque se leen en sentido horario).

1. Una sucesión finita de enteros $a_0,a_1,...,a_n$ se llama cuadrática si $|a_k -a_{k-1}| = k^2$ para $n\geq k\geq1$. (a) Demuestre que para cualesquiera dos enteros $b$ y $c$, existen un número natural $n$ y una sucesión cuadrática con $a_0 = b$ y $a_n =c$. (b) Encuentre el número natural $n$ más pequeño para el cual existe una sucesión cuadrática con $a_0 = 0$ y $a_n = 1997$.

5 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(s, t)$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ existe algún entero positivo $n$ para el cual $$a^s + b^t | a^n + b^{n+1}.$$ Propuesto por Oleksii Masalitin (Ucrania)

3 Encuentre el mayor $C \in \mathbb{R}$ tal que \[\frac{x+z}{(x-z)^2} +\frac{x+w}{(x-w)^2} +\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{y+w}{(y-w)^2} + \sum_{cyc} \frac{1}{x} \ge \frac{C}{x+y+z+w}\] donde $x,y,z,w \in \mathbb{R^+}$ . Autor: Hunter Spink

6 Sea $X$ el conjunto de los enteros del $1$ al $239$. Un mago y su asistente realizan un truco. El mago sale del salón y un espectador escribe una sucesión de $10$ elementos en la pizarra tomados del conjunto $X$. El asistente del mago los observa y añade $k$ elementos más de $X$ a la sucesión existente. Después de esto, el espectador reemplaza tres de estos $k+10$ números por elementos aleatorios de $X$ (está permitido cambiarlos por sí mismos, es decir, no cambiar nada en absoluto, por ejemplo). El mago entra, observa la fila resultante de $k+10$ números y nombra sin error los $10$ números originales escritos por el espectador. Encuentre el $k$ mínimo posible para el cual el truco es posible.

1993.14 Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias desde un punto $P$ a los vértices de un triángulo $ABC$ es mínima cuando $P$ es el baricentro del triángulo.

3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ tales que \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right) \] se cumple para todo $x,y\in\mathbb R^+.$

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todo $x, y$ reales, se cumple la siguiente relación: $$(x+y) \cdot f(x+y)= f(f(x)+y) \cdot f(x+f(y)).$$ Propuesto por Vadym Koval (Ucrania)

2 Determine todos los enteros positivos $a$, $b$, $c$, $p$, donde $p$ y $p+2$ son números primos impares y \[2^ap^b=(p+2)^c-1.\] awesomeming327.