12 $(CZS 1)$ Dado un cubo unitario, encuentre el lugar geométrico de los centroides de todos los tetraedros cuyos vértices se encuentran en las aristas del cubo.

10 Los números reales $a_0,a_1,a_2,\ldots$ satisfacen $1=a_0\le a_1\le a_2\le\ldots$. $b_1,b_2,b_3,\ldots$ están definidos por $b_n=\sum_{k=1}^n{1-{a_{k-1}\over a_k}\over\sqrt a_k}$. a.) Demuestre que $0\le b_n<2$. b.) Dado $c$ que satisface $0\le c<2$, demuestre que podemos encontrar $a_n$ tal que $b_n>c$ para todo $n$ suficientemente grande.

Se escriben 15 números naturales del $1$ al $99$ (no necesariamente distintos) en 99 tarjetas. Se sabe que la suma de los números en cualquier subconjunto de tarjetas (incluyendo el conjunto de todas las tarjetas) no es divisible por $100$. Demuestre que todas las tarjetas contienen el mismo número. Amir

10 $(BUL 4)$ Sea $M$ el punto en el interior del triángulo rectángulo $ABC (\angle C = 90^{\circ})$ tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle MCA =\phi.$ Sea $\Psi$ el ángulo agudo entre las medianas de $AC$ y $BC.$ Demuestre que $\frac{\sin(\phi+\Psi)}{\sin(\phi-\Psi)}= 5.$

25 $(GBR 2)$ Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$. Demuestre que el mayor número que no se puede expresar de la forma $ax + by$ es $ab - a - b$. Si $N(k)$ es el mayor número que no se puede expresar de la forma $ax + by$ de exactamente $k$ maneras, encuentre $N(k).$

19 $(FRA 2)$ Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotemos por $x_m$ el último dígito del número $x^m$ en el sistema de numeración con base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$? Demuestre que la sucesión $x_m$ es periódica con un periodo $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$? Demuestre que si $m$ y $x$ son primos entre sí, entonces $0_m, 1_m, . . . , (n-1)_m$ son números diferentes. Encuentre el periodo mínimo $t$ en términos de $n.$ Si $n$ no cumple la condición dada, demuestre que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la sucesión es periódica comenzando solo a partir de algún número $k > 1.$

20 $(FRA 3)$ Se da un polígono (no necesariamente convexo) con vértices en los puntos de una red rectangular. El área del polígono es $S.$ Si $I$ es el número de puntos de la red que están estrictamente en el interior del polígono y $B$ es el número de puntos de la red en el borde del polígono, encuentre el número $T = 2S - B - 2I + 2.$

14 Un soldado necesita verificar si hay minas en el interior o en los lados de un triángulo equilátero $ABC.$ Su detector puede detectar una mina a una distancia máxima igual a la mitad de la altura del triángulo. El soldado parte desde uno de los vértices del triángulo. ¿Cuál es la distancia mínima que necesita recorrer para que, al finalizarla, esté seguro de que completó exitosamente su misión?

8 Determine si existen números reales distintos $a, b, c, t$ para los cuales: (i) la ecuación $ax^2 + btx + c = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_1, x_2,$ (ii) la ecuación $bx^2 + ctx + a = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_2, x_3,$ (iii) la ecuación $cx^2 + atx + b = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_3, x_1.$

12 Considere las dos matrices cuadradas \[A=\begin{bmatrix} +1 & +1 &+1& +1 &+1 \\+1 &+1 &+1&-1 &-1 \\ +1 &-1&-1 &+1& +1 \\ +1 & -1 & -1 & -1 & +1 \\ +1 &+1&-1 &+1&-1 \end{bmatrix} \quad \text{ y } \quad B=\begin{bmatrix} +1 & +1 &+1& +1 &+1 \\+1 &+1 &+1&-1 &-1 \\ +1 &+1&-1& +1&-1 \\ +1 &-1& -1& +1& +1 \\ +1 & -1& +1&-1 &+1 \end{bmatrix}\] con entradas $+1$ y $-1$. Las siguientes operaciones se denominarán elementales: (1) Cambiar los signos de todos los números en una fila; (2) Cambiar los signos de todos los números en una columna; (3) Intercambiar dos filas (dos filas intercambian sus posiciones); (4) Intercambiar dos columnas. Demuestre que la matriz $B$ no puede obtenerse a partir de la matriz $A$ utilizando estas operaciones. Amir