53 $(POL 2)$ Dados dos segmentos $AB$ y $CD$ que no están en el mismo plano, encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ tales que $MA^2 +MB^2 = MC^2 +MD^2.$

45 Dados $n>4$ puntos en el plano, sin tres de ellos colineales. Demuestre que existen al menos $\frac{(n-3)(n-4)}{2}$ cuadriláteros convexos con vértices entre los $n$ puntos.

12 Se dan dos triángulos equiláteros congruentes $ABC$ y $A'B'C'$ en el plano. Demuestre que los puntos medios de los segmentos $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son colineales o forman un triángulo equilátero. Amir

14 $(CZS 3)$ Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Si $x$ es una solución real de la ecuación $x^2 + px + q = 0$ con coeficientes reales $p$ y $q$ tales que $|p| \le a, |q| \le b,$ demuestre que $|x| \le \frac{1}{2}(a +\sqrt{a^2 + 4b})$. Recíprocamente, si $x$ satisface la desigualdad anterior, demuestre que existen números reales $p$ y $q$ con $|p|\le a, |q|\le b$ tales que $x$ es una de las raíces de la ecuación $x^2+px+ q = 0.$

56 Sean $a$ y $b$ dos números naturales que tienen un mismo número $n$ de dígitos en sus expansiones decimales. Los primeros $m$ dígitos (de izquierda a derecha) de los números $a$ y $b$ son iguales. Demuestre que si $m >\frac{n}{2},$ entonces $a^{\frac{1}{n}} -b^{\frac{1}{n}} <\frac{1}{n}$

12 Dados $100$ puntos coplanares, sin tres de ellos colineales, demuestre que a lo sumo el $70\%$ de los triángulos formados por los puntos tienen todos sus ángulos agudos.

31 $(GDR 3)$ Encuentre el número de permutaciones $a_1, \cdots, a_n$ del conjunto $\{1, 2, . . ., n\}$ tales que $|a_i - a_{i+1}| \neq 1$ para todo $i = 1, 2, . . ., n - 1.$ Encuentre una fórmula de recurrencia y evalúe el número de tales permutaciones para $n \le 6.$

48 $(NET 3)$ Sean $x_1, x_2, x_3, x_4$ y $x_5$ enteros positivos que satisfacen \[x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 = 1000,\] \[x_1 -x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\] \[x_1 +x_2 -x_3 +x_4 -x_5 > 0,\] \[-x_1 +x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\] \[x_1 -x_2 +x_3 +x_4 -x_5 > 0,\] \[-x_1 +x_2 -x_3 +x_4 +x_5 > 0\] $(a)$ Encuentre el máximo de $(x_1 + x_3)^{x_2+x_4}$ $(b)$ ¿De cuántas maneras diferentes podemos elegir $x_1, . . . , x_5$ para obtener el máximo deseado?

9 Sean $u_1, u_2, \ldots, u_n, v_1, v_2, \ldots, v_n$ números reales. Demuestre que \[1+ \sum_{i=1}^n (u_i+v_i)^2 \leq \frac 43 \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n u_i^2 \Biggl) \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n v_i^2 \Biggl) .\] Amir

51 $(NET 6)$ Una curva determinada por $y =\sqrt{x^2 - 10x+ 52}, 0\le x \le 100,$ se construye en una cuadrícula rectangular. Determine el número de cuadrados cortados por la curva.