68 $(USS 5)$ Dados $5$ puntos en el plano, de los cuales no hay tres que sean colineales, demuestre que podemos elegir $4$ puntos entre ellos que formen un cuadrilátero convexo.

4 Construya el triángulo $ABC$ , dados $h_a$ , $h_b$ (las alturas desde $A$ y $B$ ) , y $m_a$ , la mediana desde el vértice $A$ .

69 $(YUG 1)$ Suponga que los números reales positivos $x_1, x_2, x_3$ satisfacen $x_1x_2x_3 > 1$ y $x_1 + x_2 + x_3 <\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$. Demuestre que: $(a)$ Ninguno de los números $x_1, x_2, x_3$ es igual a $1$. $(b)$ Exactamente uno de estos números es menor que $1$.

6 Considere un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Un cilindro está circunscrito alrededor de esta esfera de tal manera que una de sus bases se encuentra en la base del cono. Sea $V_1$ el volumen del cono y $V_2$ el volumen del cilindro. a) Demuestre que $V_1 \neq V_2$; b) Encuentre el número más pequeño $k$ para el cual $V_1=kV_2$; para este caso, construya el ángulo subtendido por un diámetro de la base del cono en el vértice del cono.

35 $(HUN 2)$ Demuestre que $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{5}{4}$

11 Sean $P,Q,R$ polinomios y sea $S(x) = P(x^3) + xQ(x^3) + x^2R(x^3)$ un polinomio de grado $n$ cuyas raíces $x_1,\ldots, x_n$ son distintas. Construya, con la ayuda de los polinomios $P,Q,R$, un polinomio $T$ de grado $n$ que tenga como raíces $x_1^3 , x_2^3 , \ldots, x_n^3.$ Amir

8 Demuestre que $(2m)!(2n)!$ es un múltiplo de $m!n!(m+n)!$ para cualesquiera enteros no negativos $m$ y $n$.

13 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos. Demuestre la desigualdad \[\binom n2 \sum_{i<j} \frac{1}{a_ia_j} \geq 4 \left( \sum_{i<j} \frac{1}{a_i+a_j} \right)^2\] Amir

71 $(YUG 3)$ Sean cuatro puntos $A_i (i = 1, 2, 3, 4)$ en el plano que determinan cuatro triángulos. En cada uno de estos triángulos elegimos el ángulo más pequeño. La suma de estos ángulos se denota por $S.$ ¿Cuál es la ubicación exacta de los puntos $A_i$ si $S = 180^{\circ}$ ?

3 Sean $a,b,c$ números reales. Considere la ecuación cuadrática en $\cos{x}$ \[ a \cos^2{x}+b \cos{x}+c=0. \] Utilizando los números $a,b,c$, forme una ecuación cuadrática en $\cos{2x}$ cuyas raíces sean las mismas que las de la ecuación original. Compare la ecuación en $\cos{x}$ y $\cos{2x}$ para $a=4$, $b=2$, $c=-1$.