Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que $$\mathrm{mcd}(a,n) = \mathrm{mcd}(b,n) = 1, \hspace{2mm} k=a+b.$$

Sean $C$ y $D$ dos puntos de la semicircunferencia de diámetro $AB$ tales que $B$ y $C$ están en los semiplanos distintos respecto de la recta $AD$. Denotemos $M$, $N$ y $P$ los puntos medios de $AC$, $DB$ y $CD$, respectivamente. Sean $O_A$ y $O_B$ los circuncentros de los triángulos $ACP$ y $BDP$. Demuestra que las rectas $O_AO_B$ y $MN$ son paralelas.

a. Se tienen dos sucesiones, cada una de $2003$ enteros consecutivos, y un tablero de $2$ filas y $2003$ columnas. Decida si siempre es posible distribuir los números de la primera sucesión en la primera fila y los de la segunda sucesión en la segunda fila, de tal manera que los resultados obtenidos al sumar los dos números de cada columna formen una nueva sucesión de $2003$ números consecutivos. b. ¿Y si se reemplaza $2003$ por $2004$?

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

Para un conjunto $H$ de puntos en el plano, se dice que un punto $P$ del plano es un punto de corte de $H$ si existen cuatro puntos distintos $A$, $B$, $C$ y $D$ en $H$ tales que las rectas $AB$ y $CD$ son distintas y se cortan en $P$. Dado un conjunto finito $A_0$ de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos $A_1,A_2,A_3,\ldots$ de la siguiente manera: para cualquier $j\geq 0$, $A_{j+1}$ es la unión de $A_j$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $A_j$. Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito, entonces para cualquier $j\geq 1$ se tiene que $A_j=A_1$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABCD$, $K$ la intersección de las diagonales, $L\neq O$ la intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $ABCD$. Prueba que $O$, $K$, $L$ y $G$ están alineados.

Sea $M=\{1,2,\ldots, 49\}$ el conjunto de los primeros $49$ enteros positivos. Determine el máximo entero $k$ tal que el conjunto $M$ tiene un subconjunto de $k$ elementos en el que no hay $6$ números consecutivos. Para ese valor máximo de $k$, halle la cantidad de subconjuntos de $M$, de $k$ elementos, que tienen la propiedad mencionada.

Pablo estaba copiando el siguiente problema: Considere todas las sucesiones de $2004$ números reales $(x_0,x_1,\ldots,x_{2003})$, tales que $$x_0=1, \hspace{2mm} 0\leq x_1\leq 2x_0, \hspace{2mm} 0\leq x_2\leq 2x_1,\hspace{2mm} \cdots, \hspace{2mm} 0\leq x_{2003}\leq 2x_{2002}$$ Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente expresión toma su mayor valor: $S=\cdots$. Cuando Pablo iba a copiar la expresión de $S$ le borraron la pizarra. Lo único que pudo recordar es que $S$ era de la forma $$S=\pm x_1\pm x_2 \pm\cdots\pm x_{2002}+x_{2003}$$ donde el último término, $x_{2003}$, tenía coeficiente $+1$, y los anteriores tenían coeficiente $+1$ ó $-1$. Demuestre que Pablo, a pesar de no tener el enunciado completo, puede determinar con certeza la solución del problema.

Se definen las sucesiones$(a_n)_{n\geq 0}$ , $(b_n)_{n\geq 0}$ por: $$a_0=1,\hspace{2mm} b_0=4,\hspace{2mm} a_{n+1}=a_n^{2001}+b_n, \hspace{2mm} b_{n+1}=b_n^{2001}+a_n$$ Demuestra que $2003$ no divide a ninguno de los términos de estas sucesiones.

Los números enteros del $1$ al $200$, ambos inclusive, se escriben en una pizarra en orden creciente $1,2,\ldots, 2002$. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k+1$. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k+1$. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?