Sea $n>1$ un entero impar. Sean $P_0$ y $P_1$ dos vértices consecutivos de un polígono regular de $n$ lados. Para cada $k\geq 2$, se define como el vértice del polígono dado que se encuentra en la mediatriz de $P_{k-1}P_{k-2}$. Determina para qué valores de $n$ la sucesión $P_0,P_1,P_2\ldots$, recorre todos los vértices del polígono.

Determine todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $2a+1$ y $2b-1$ sean primos relativos y $a+b$ divida a $4ab+1$.

Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A$, $M$ y $N$ al variar $M$.

Sea $p$ mayor que $3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^p} = \frac{n}{m}$$ donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es $1$, demuestra que $p^3$ divide a $n$.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $A_1$ un punto en el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $A_2$ y $A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $\angle BA_1A_2=\angle OAC$ y $\angle CA_1A_3=\angle OAB$. Demuestra que la recta $A_2A_3$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $a \nabla b$ el residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0,1,\ldots, b-1$. Encuentre todas las parejas de números $(a,p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a \nabla p) + (a \nabla 2p) + (a \nabla 3p) + (a \nabla 4p) = a + p$$

Dado un entero positivo $n$, en un plano se consideran $2n$ puntos alineados $A_1,A_2,\ldots, A_{2n}$. Cada punto se colorea de azul o de rojo mediante el siguiente procedimiento: En el plano se trazan $n$ circunferencias con diámetros de extremos $A_i$ y $A_j$, disjuntas dos a dos. Cada $A_k$, $1\leq k\leq 2n$, pertenece exactamente a una circunferencia. Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma circunferencia lleven el mismo color. Determine cuántas coloraciones distintas de los $2n$ puntos se pueden obtener al variar las $n$ circunferencias y la distribución de los colores.

Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes: - Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear. - De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes. Determina el número mínimo de casillas que se deben colorear.

Dos ardillas, Ardi y Dilla, han recolectado $2021$ nueces para el invierno. Ardi numera las nueces desde $1$ hasta $2021$, y excava $2021$ pequeños hoyos en el suelo en una disposición circular alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Ardi observa que Dilla ha colocado una nuez en cada hoyo, pero sin tener en cuenta la numeración. No contenta con esto, Ardi decide reordenar las nueces realizando una secuencia de $2021$ movimientos. En el $k$-ésimo movimiento Ardi intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez con el número $k$. Prueba que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$-ésimo movimiento, las nueces intercambiadas tienen números $a$ y $b$ tales que $a<k<b$.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que $$\mathrm{mcd}(a,n) = \mathrm{mcd}(b,n) = 1, \hspace{2mm} k=a+b.$$