En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, respectivamente, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestra que $\angle EMD=\angle DMF$.

Dado cualquier conjunto de $9$ puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto $P$ del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a $P$ en su interior, es par.

Los números enteros del $1$ al $200$, ambos inclusive, se escriben en una pizarra en orden creciente $1,2,\ldots, 2002$. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k+1$. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k+1$. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?

Un punto $P$ es interior al triángulo equilátero $ABC$ y cumple que $\angle APC=120^\circ$. Sea $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Halla el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.

La sucesión de números reales $a_1,a_2,\ldots,$ se define como:\n $$a_1=56,\hspace{2mm} a_{n+1}=a_n-\frac{1}{a_n}$$\npara cada entero $n\geq 1$.\nDemuestra que existe un entero $k$, $1\leq k\leq 2002$, tal que $a_k<0$.

Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de $2001\times 2001$. Ellos juegan alternadamente. Cada jugador, en su turno, debe moverse una casilla en uno de los tres sentidos $\downarrow, \rightarrow, \nwarrow$. Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada). Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestra que: a. El ladrón consigue moverse por lo menos $10000$ turnos sin ser capturado. b. El policía posee una estrategia para capturar al ladrón. Nota: El policía captura al ladrón cuando entra en la casilla en la que está el ladrón. Si el ladrón entra en la casilla del policía, no se produce captura.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en los puntos $X$, $Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersecan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones: - Todos los dígitos de $n$ son mayores que $1$. - Siempre que se multipliquen cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$. Demuestra que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

Sean $S$ un conjunto de $n$ elementos y $S_1,S_2,\ldots,S_k$ subconjuntos de $S$ ($k\geq 2$), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos. Demuestra que existen $i$ y $j$, con $1\leq i<j\leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S)j$ es mayor o igual que $$r-\frac{nk}{4(k-1)}$$

Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado $1$ con cinco cuadrados iguales de lado menos que $\frac{1}{2}$.