Al final de un torneo de fútbol en el que cada par de equipos jugó entre sí exactamente una vez y donde no hubo empates, se observó que para cualesquiera tres equipos $A$, $B$ y $C$, si $A$ le ganó a $B$ y $B$ le ganó a $C$, entonces $A$ le ganó a $C$. Cada equipo calculó la diferencia (positiva) entre el número de partidos que ganó y el número de partidos que perdió. La suma de todas estas diferencias resultó ser $5000$. ¿Cuántos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $\angle BAC$, con $D$ un punto del lado $BC$. Sea $E$ un punto del segmento $BC$ tal que $BD=EC$. Por $E$ se traza $\ell$, la recta paralela a $AD$. Sea $P$ un punto en $\ell$ y dentro del triángulo $ABC$. Sea $G$ el punto donde la recta $BP$ corta al lado $AC$ y sea $F$ el punto donde la recta $CP$ corta al lado $AB$. Muestra que $BF=CG$.

Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n\times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ estan alineadas si estan en una misma fila o columna en un tablero o continuan asi por los tableros adyacentes.\nDavid coloca algunas torres en tablero de forma que no se ataquen entre si, dos torres se atacan si estan en casillas alineadas.\n¿Cuál es la macima cantidad de torres que David puede colocar?

Determina todas las parejas $(a,b)$ de números enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros: $$\frac{a+xy}{b}, \frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3}\cdots, \frac{a+xy^n}{b^n},\cdots$$

Sea $ABC$ un triangulo con $AB\neq AC$. Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ con diametros $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $P$ un punto en el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega_1$ en el punto $Q$, con $Q\neq A$. Demuestra que los puntos $O_1,O_2$ y $Q$ son colineales si y solo si $AP$ es la bisectriz del angulo $\angle BAC$.

Encuentra todos los números primos $p$, $q$, $r$ con $p<q<r$, tales que $25pq+r=2004$ y que $pqr+1$ sea un cuadrado perfecto.

Halla todos los enteros $k$ para los que existen enteros positivos $a,b$ y $c$ tales que: $$|(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3|=3\cdot 2^k$$

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el segmento $BC$ tales que $\angle BAP=\angle CAQ<\frac{\angle BAC}{2}$. $B_1$ es un punto en $AC$. $BB_1$ interseca a $AP$ y a $AQ$ en $P_1$ y $Q_1$ respectivamente. Las bisectrices de los angulos $\angle BAC$ y $\angle CBB_1$ se intersecan en $M$. Si $PQ_1\perp AC$ y $QP_1\perp AB$, demuestra que $AQ_1MPB$ es ciclico.

Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto cualquiera del segmento $BC$ ($P\neq B$ y $P\neq C$). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta al segmento $AB$ en $R$ ($R\neq A$ y $R\neq B$) y que la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta al segmento $CA$ en el punto $Q$ ($Q\neq C$ y $Q\neq A$). Muestra que el triángulo $PQR$ es semejante al triángulo $ABC$ y su ortocentro es $O$. Además, muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO$, $COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.

Sea $n>1$ un entero y sean $d_1<d_2<\cdots<d_m$ la lista completa de sus divisores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocara una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos)., donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S=s_1+\cdots+s_m$.\n\nUn par de notas de tonos $a$ y $b$ son armónicas si $\frac{a}{b}$ o $\frac{b}{a}$ es un entero. Si cada instrumento toca al menos un segundo y cada par de notas que suenan al mismo tiempo son armónicas, demuestra que la máxima sonoridad posible de la pieza es un número compuesto.