Sea $n$ un número entero mayor que $1$. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos los números $1,2,3,\cdots,2n$ en las casillas de una cuadrícula de $2\times n$, uno en cada casilla, de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que comparten un lado en la cuadrícula?

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$ hay $10$ números consecutivos pero no $11$.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros positivos que se pueden encontrar de manera que cualesquiera dos de ellos $a$ y $b$ (Con $a\neq b$) cumplan que $|a-b|\geq \frac{ab}{100}$?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $A$, tal que $AB<AC$. Sean $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ la intersección de $AC$ con la perpendicular a $BC$ que pasa por $M$. Sea $E$ la intersección de la paralela a $AC$ que pasa por $M$ con la perpendicular a $BD$ que pasa por $B$. Muestra que los triángulos $AEM$ y $MCA$ son semejantes si y solo si $\angle ABC=60^\circ$.

¿Cuál es el mayor número posible de cambios de dirección en un recorrido sobre las líneas de una cuadrícula de $2004\times 2004$ casillas, si el recorrido no pasa dos veces por el mismo lugar?

En cada cuadrado de una cuadrícula de $6\times 6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y viceversa. Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.

¿Para qué enteros positivos $n$ puede cubrirse una escalera (hecha apilando filas de $n\times 1$, $(n-1)\times 1$, $\cdots$, $1\times 1$) con $n$ cuadrados de lados enteros, no necesariamente del mismo tamaño, sin que estos cuadrados se encimen y sin que sobresalgan del borde de la figura?

Leticia tiene un tablero de $9\times 9$. Dos cuadrados de $1\times 1$ se llaman "amigos" si comparten un lado, si estan en orillas opuestas de una misma fila o de una misma columna. Cada cuadado tiene exactamente $4$ amigos. Leticia va a colorear cada cuadrado con $1$ de $3$ colores: rojo, verde o azul. Dentro de cada cuadrado se va a escribir un número siguiendo las siguientes reglas: - Si el cuadrado es verde, se escribe el número de amigos rojos que tiene mas $2$ veces el número de amigos azules. - Si el cuadrado es rojo, se escribe el número de amigos azules que tiene mas $2$ veces el número de amigos verdes. - Si el cuadrado es azul, se escribe el número de amigos verdes que tiene mas $2$ veces el número de amigos rojos. Cuál es el la suma más grande que Leticia puede obetener al sumar todos los números escritos en el tablero?

Dadas varias cuadrículas del mismo tamaño con números escritos en sus casillas, su suma se efectúa sumando las casillas que están en la misma posición, creando una cuadrícula del mismo tamaño. Dado un entero positivo $N$, diremos que una cuadrícula es $N$-balanceada si tiene números enteros escritos en sus casillas y si la diferencia entre los números escritos en cualesquiera dos casillas que comparten un lado es menor o igual a $N$. Muestra que toda cuadrícula $2n$-balanceada (de cualquier tamaño) se puede escribir como suma de dos cuadrículas $n$-balanceadas. A demás, muestra que toda cuadrícula $3n$-balanceada (de cualquier tamaño) se puede escribir como suma de tres cuadrículas $n$-balanceadas.

Sea $N$ un número entero mayor que $1$. En cierta baraja de $N^3$ cartas, cada carta está pintada de uno de $N$ colores distintos, tiene dibujada una de $N$ posibles figuras, y tiene escrito un número entero del $1$ al $N$ (no hay dos cartas idénticas). Una colección de cartas de la baraja se llama completa si tiene cartas de todos los colores, o si entre sus cartas aparecen todas las figuras o todos los números. ¿Cuántas colecciones no completas tienen la propiedad de que, al añadir cualquier otra carta de la baraja, se vuelven completas?