Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Muestra que $$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\leq 2$$

Decimos que una lista de números enteros $a_1,a_2,a_3\cdots,a_m$ contiene una terna aritmética $a_i,a_j,a_k$ si $1<j<k$ y $2a_j=a_i+a_k$. Por ejemplo, $8,1,5,3,7$ tiene una terna aritmética $(8,5,2)$ pero $8,1,2,5,7$ no. Sea $n$ un entero positivo. Muestra que los números $1,2,3,\cdots, n$ se pueden reordenar en una lista que no contenga ternas aritméticas.

Sean $Z$ y $Y$ los puntos de tangencia del incírculo del triángulo $ABC$ con los lados $AB$ y $CA$, respectivamente. La paralela a $YZ$ por el punto medio $M$ del lado $BC$ corta a $CA$ en $N$. Sea $L$ el punto del segmento $CA$ tal que $NL=AB$ (con $L$ y $A$ del mismo lado con respecto a $N$). La recta $ML$ corta a $AB$ en $K$. Muestra que $KA=NC$.

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle APB=\angle BPC$.

Ana y Bety juegan un juego por turnos de manera alternada. Inicialmente Ana elige un entero positivo impar y compuesto $n$ tal que $2^j<n<2^{j+1}$ con $2<j$. En su primer turno Bety elige un entero positivo impar y compuesto $n_1$ tal que $$ n_1\leq \frac{1^n+2^n+\cdots+(n-1)^n}{2(n-1)^{n-1}}.$$ Luego en su turno, Ana elige un numero primo $p_1$ que divide a $n_1$. Si el primo que eligio Ana es $3,5$ o $7$, entonces Ana gana, de lo contrario Bety elige un entero positivo impar y compuesto $n_2$ tal que $$n_2\leq \frac{1^{p_1}+2^{p_1}+\cdots+(p_1-1)^{p_1}}{2(p_1-1)^{p_1-1}}.$$ Despues de eso en su turno, Ana elige un primo $p_2$ que divida a $n_2$, si $p_2$ es $3,5$ o $7$, Ana gana, de lo contrario el proceso se repite. Ademas, Ana gana en el caso que Bety no pueda elegir un entero positivo impar y compuesto en el rango correspondiente. Bety gana si logra jugar al menos $j-1$ turnos. Encuentra cual de las dos jugadoras tiene estrategia ganadora.

Sea $n$ la suma de los dígitos de un entero positivo $A$. Decimos que $A$ es ""surtido"" si cada uno de los enteros $1,2,3,\cdots,n$ es la suma de algunos dígitos de $A$. Muestra que si $1,2,\cdots,8$ son sumas de algunos dígitos de un entero $A$, entonces $A$ es surtido. Si $1,2,\cdots,7$ son sumas de algunos dígitos de un entero $A$, ¿es $A$ necesariamente surtido? \nNota: El número $117$ no es surtido porque por ejemplo no se puede sumar a $3$ con algunos de sus dígitos, y $3<1+1+7$.

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $(p,q,r)$ tales que $p$ y $q$ son primos y $r$ es par, de forma que $$p^3+q^2=4r^2+45r+103$$

Para un entero positivo $n$ se definen: $n_1$ como la suma de los dígitos de $n$, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_2$ y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$. Por ejemplo para $n=199$, $n_1=19$, $n_2=199_2=10$ y $n_3=199_3=1$. Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m,n)$ tales que $m+n=2007$ y $m_3+n_2=2007_3$.

Un número $x$ es Tlahuica si existen primos positivos distintos $p_1, p_2, \cdots, p_k$ tales que \n$$ x=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots+\frac{1}{p_k}$$\nDetermina el mayor número Tlahuica $x$ que satisface las dos siguientes propiedades:\n(1) $0<x<1$\n(2) existe un numero entero $0<m\leq 2022$ tal que $mx$ es un número entero.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD=BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD=AC$ si y sólo si $\angle BAC=2\angle ABM$.