Muestra que entre cualesquiera $14$ números enteros consecutivos siempre hay $6$ números tales que cualesquiera dos de ellos son primos relativos.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. \nMuestra que\n$$\frac{a^3}{a^3+2}+\frac{b^3}{b^3+2}+\frac{c^3}{c^3+2}\geq 1$$ y que $$\frac{1}{a^3+2}+\frac{1}{b^3+2}+\frac{1}{c^3+2}\leq 1.$$

Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula de $n\times 4$, cada región es igual a $$\boxed{2}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}$$ Un "cambio" es tomar tres casillas consecutivas en el mismo renglón y con dígitos distintos escritos en ellas y cambiar los tres dígitos de estas casillas escritas de la siguiente manera $$0\to 1, \quad 1\to 2, \quad 2\to 0.$$ Por ejemplo, un renglón $\boxed{2}\boxed{0}\boxed{1}\boxed{0}$ puede cambiarse al renglón $\boxed{0}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{0}$ pero no al renglón $\boxed{2}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{1}$ pues $0$, $1$ y $0$ no son distintos entre sí. Los cambios se pueden aplicar cuantas veces se quiera, aún a renglones ya cambiados. Muestra que para $n<12$ no es posible hacer un número finito de cambios de forma que la suma de los números en cada una de las cuatro columnas sea la misma.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $A$. Se traza una recta tangente a $\mathcal{C}_1$ en $B$ y secante a $\mathcal{C}_2$ en $C$ y $D$; luego se prolonga el segmento $AB$ hasta intersecar a $\mathcal{C}_2$ en un punto $E$. Sea $F$ el punto medio del arco $CD$ sobre $\mathcal{C}_2$ que no contiene a $E$ y sea $H$ la intersección de $BF$ con $\mathcal{C}_2$. Muestra que $CD$, $AF$ y $EH$ son concurrentes.

Se tienen $25$ focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros $24$ se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un $24$-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia. Se permite aplicar cualquiera de las siguientes dos operaciones: 1) Tomar dos vértices sobre la circunferencia tales que hay una cantidad impar de vértices en los arcos que definen, y cambiar el estado de los focos de estos dos vértices, así como del foco del centro. 2)Tomar tres vértices sobre la circunferencia que formen un triángulo equilátero, y cambiar el estado de los focos en estos tres vértices, así como del foco del centro. Muestra que partiendo de cualquier configuración inicial de focos encendidos y apagados, siempre es posible llegar a una configuración en la que todos los focos están encendidos.

En una fiesta con $n$ personas, se sabe que de entre cualesquiera $4$ personas, hay $3$ de las $4$ que se conocen entre sí o hay $3$ que no se conocen entre sí. Muestra que las $n$ personas se pueden separar en dos salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro no hay dos personas que se conozcan entre sí. Nota. Conocerse se considera una relación mutua.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $AD$, $BE$ y $CF$ sus alturas. La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$, respectivamente. Muestra que $Q$ es el punto medio de $PD$.

Sea $ab$ un número entero de dos dígitos. Un entero positivo $n$ es "pariente" de $ab$ si el dígito de las unidades de $n$ también es $b$, y los otros dígitos de $n$ son distintos de cero y suman $a$. Por ejemplo, los parientes de $31$ son $31$, $121$, $211$ y $1111$. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes.

Sea $n>1$ un entero positivo y sean $d_1<d_2<\cdots <d_m$ sus $m$ divisores positivos de manera que $d_1=1$ y $d_m=n$. Lalo escribe los siguientes $2m$ números en un pizarrón:\n$$d_1, d_2, \cdots, d_m , d_1+d_2, d_2+d_3, \cdots, d_{m-1}+d_m, N$$\ndonde N es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número aparece dos veces, él borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la losta completa de divisores positivos de N. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$.

Sean $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ dos circunferencias tales que el centro $O$ de $\mathcal{B}$ esté en $\mathcal{A}$. Sean $C$ y $D$ los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto $A$ en $\mathcal{A}$ y un punto $B$ en $\mathcal{B}$ tales que $AC$ es tangente a $\mathcal{B}$ en $C$ y $BC$ es tangente a $\mathcal{A}$ en el mismo punto $C$. El segmento $AB$ corta de nuevo a $\mathcal{B}$ en $E$ y ese mismo segmento corta de nuevo a $\mathcal{A}$ en $F$. La recta $CE$ vuelve a cortar a $\mathcal{A}$ en $G$ y la recta $CF$ corta a la recta $GD$ en $H$. Muestra que el punto de intersección de $GO$ y $EH$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $DEF$.