Dados tres enteros $a,b,n$ decimos que $a\equiv b \text{ mod } n$ ($a$ es congruente a $b$ modulo $n$) si $n\mid a-b$.

Dados puntos $P,Q,R$ y sus polares $p,q,r$. Entonces $P,Q,R$ son colineales si y solo si $p,q,r$ son concurrentes.

Dado un número $n$, entonces para cualquier numero $a$ con $(a,n)=1$ se cumple que:\n$$n\mid a^{\varphi(n)}-1$$\nDonde $\varphi(n)$ es el numero de enteros positivos menores a $n$ que son primos relativos con $n$.

Dados $n+1$ objetos y $n$ casillas en donde colocarlos, no importa como acomodes todos los objetos hay almenos una casilla que tiene $2$ objetos o mas.

Dado un primo $p$, entonces para cualquier numero $a$ que no sea multiplo de $p$ se cumple que: $$p\mid a^{p-1}-1$$ Equivalentemente que $a^{p-1}\equiv 1\text{ mod } p$.

Sea $p$ un número primo, entonces $$(p-1)!\equiv -1\text{ mod }p.$$

Decimos que $(AC;BD)=-1$ es una hilera harmonica si los $4$ puntos $A,B,C,D$ son colineales y estan en ese orden y se cumple que $$\frac{AB}{AD}=-\frac{CB}{CD}$$ El signo negativo es porque se usan segmentos dirigidos. $$ $$ Decimos que $P(AC;BD)=-1$ es un haz armonico donde $(AC;BD)=-1$ es una hilera harmonica y $P$ es un punto fuera de la linea $AD$. Entonces si una linea $\ell$ corta a las lineas $PA,PB,PC,PD$ en $A',B',C',D'$ respectivamente, tenemos que $P(A'C';B'D')=-1$ es un haz harmonico o equivalentemente que $(A'C';B'D')=-1$ es una hilera harmonica.

Dados dos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ con $\deg P\geq \deg Q$ tenemos que existen un polinomio $s(x)$ y otro polinomio $r(x)$ con $\deg r<\deg Q$ llamado el residuo de $P$ dividido por $Q$ tal que cumple $$P(x)=Q(x)s(x)+r(x).$$

Dados dos enteros con factorizaciones primas $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ y $m=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\cdots q_k^{\beta_k}$, tenemos que $n$ divide a $m$ si y solo si para toda $i$ existe una $j$ tal que $p_i=q_j$ y $\alpha_i\leq \beta_j$. Otra forma de decir esto es que el exponente de cada primo sea mayor en $m$ que en $n$.

Sea $k$ el orden de $a$ modulo $n$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1. $k$ divide a cualquier otro entero $j$ tal que $a^j\equiv 1\text{ mod }n$. 2. Todas las congruencias $a,a^2,a^3,\cdots a^k$ son diferentes modulo $n$.