Sean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales y $a=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$, en ocasiones aun si una funcion $f$ no es convexa la desigualdad $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ se cumple y puede ser relativamente sencilla de probar. \nUn ejemplo es el siguiente. emuestra que $$\sum_{cyc} \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3}{5}.$$\nComo la desigualdad es homogenea podemos asumir s.p.g. $a+b+c=3$. Reescribimos la desigualdad como $$\sum_{cyc} \frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}$$ y con $f(x)=\frac{(3-2x)^2}{x^2+(3-x)^2}$ tenemos que $f'(x)=\frac{-18(3-2x)}{(2x^2-6x+9)^2}$ entonces $f(1)=\frac{1}{5}$, $f'(1)=\frac{18}{25}$ y finalmente vemos que $$f(a)=\frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{1}{5}-\frac{18}{25}(a-1)=f(1)-f'(1)(a-1)$$ $$\iff \frac{18}{25}(a-1)^2\frac{2a+1}{2a^2-6a+9}\geq 0$$\nY sumando las desigualdades para $a,b,c$ tenemos la desigualdad que queriamos.