Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el número de permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de la secuencia $1, 2, \ldots, n$ que satisfacen \[ a_1 \leq 2a_2 \leq 3a_3 \leq \ldots \leq na_n. \]

Denota a $\mathbb{R}^+$ como el conjunto de los números reales positivos. Determina todas las funciones $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ que satisfacen, para todos los números reales positivos $x$ e $y$, \[ f(x + f\left(xy)\right) + y=f(x)f(y)+1. \]

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Demuestra que para $a_1, \ldots, a_n \in [1, 2^k]$ se cumple \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\sqrt{a_1^2 + \ldots + a_i^2}} \leq 4\sqrt{kn}. \]

Determina todas las funciones $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que satisfacen \[ f^{a^2 + b^2}(a+b) = af(a) + bf(b) \] para todos los enteros $a$ y $b$, donde $f^n(x)$ denota la $n$-ésima iteración de $f$, es decir, $f^0(x) = x$ y $f^{n+1}(x) = f(f^n(x))$ para todo $n \geq 0$.

Un mago tiene la intención de realizar el siguiente truco. Anuncia un entero positivo $n$, junto con $2n$ números reales $x_1 \leq \ldots \leq x_{2n}$, ante la audiencia. Un miembro de la audiencia luego elige en secreto un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \ldots, P(x_{2n})$, y anota estos valores en la pizarra en orden no decreciente. Después de eso, el mago anuncia el polinomio secreto a la audiencia. ¿Puede el mago encontrar una estrategia para realizar tal truco?

Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ cuatro números reales tales que $a \geq b \geq c \geq d > 0$ y $a + b + c + d = 1$. Demuestra que \[ (a + 2b + 3c + 4d ) a^ab^bc^cd^d< 1. \]

Supongamos que $a$, $b$, $c$ y $d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Encuentra el valor más pequeño posible de \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}. \]

Denota a $\mathcal{A}$ como el conjunto de todos los polinomios en tres variables $x$, $y$ y $z$ con coeficientes enteros. Denota a $\mathcal{B}$ como el subconjunto de $A$ formado por todos los polinomios que pueden ser expresados como \[ (x + y + z)P(x, y, z) + (xy + yz + zx)Q(x, y, z) + xyzR(x, y, z) \] con $P$, $Q$, $R$ pertenecientes a $\mathcal{A}$. Encuentra el menor entero no negativo $n$ tal que $x^i y^j z^k \in \mathcal{B}$ para todos los enteros no negativos $i$, $j$ y $k$ que satisfacen $i + j + k \geq n$.

Sea $n$ un entero positivo, y $N = 2^n$. Determina el número real más pequeño $a_n$ tal que, para todo número real $x$, \[ \sqrt[N]{\left(\frac{x^{2N} + 1}{2}\right)} \leq a_n \left( x- 1\right)^2 + x. \] Version 2. Encuentra $b_N$ (generalizando $a_n$) para todo $N$.

Demuestra que $5^n - 3^n$ no es divisible por $2^n + 65$ para ningún entero positivo $n$.