Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$, considera su factorización en números primos; define $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes correspondientes solo a los primos en $Q$. Un entero positivo $n$ se llama especial si $p(n) + p(n+1)$ y $q(n) + q(n+1)$ son ambos números pares. Demuestra que existe una constante $c > 0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N > 100$, el número de enteros especiales en el conjunto $\{1, 2, \ldots, N\}$ es al menos $cN$. (Por ejemplo, si $Q = \{3, 7\}$, entonces $p(42) = 3$, $q(42) = 2$, $p(63) = 3$, $q(63) = 3$, $p(2022) = 3$, $q(2022) = 1$.)