¿Cuántas secuencias de $0$'s y $1$'s de longitud $19$ hay que comienzan con un $0$, terminan con un $0$, no contienen dos $0$s consecutivos y no contienen tres $1$s consecutivos?

Para cada número entero positivo $n$, sea $S(n)$ el número de secuencias de longitud $n$ que consisten únicamente de las letras $A$ y $B$, sin más de tres $A$'s consecutivas y sin más de tres $B$'s consecutivas. ¿Cuál es el residuo cuando $S(2015)$ se divide por $12$?

Considera secuencias que consisten enteramente de letras $A$ y $B$ y que tienen la propiedad de que cada secuencia consecutiva de $A$'s tiene longitud par, y cada secuencia consecutiva de $B$'s tiene longitud impar. Ejemplos de tales secuencias son $AA$, $B$ y $AABAA$, mientras que $BBAB$ no es una secuencia de este tipo. ¿Cuántas de estas secuencias tienen una longitud de 14?

Denominemos a un conjunto de enteros 'espacioso' si no contiene más de uno de cada tres enteros consecutivos. ¿Cuántos subconjuntos de $\{1,2,3,\ldots,12\}$, incluido el conjunto vacío, son espaciosos?

Para cada número entero positivo par $x$, sea $g(x)$ la mayor potencia de 2 que divide a $x.$ Por ejemplo, $g(20)=4$ y $g(16)=16.$ Para cada número entero positivo $n,$ sea $S_n=\sum_{k=1}^{2^{n-1}}g(2k).$ Encuentra el mayor entero $n$ menor que 1000 tal que $S_n$ sea un cuadrado perfecto.

Un cartero entrega correo a las diecinueve casas en el lado este de Elm Street. El cartero nota que nunca dos casas adyacentes reciben correo el mismo día, pero que nunca hay más de dos casas en fila que no reciben correo el mismo día. ¿Cuántos patrones diferentes de entrega de correo son posibles?

Una colección de 8 cubos consiste en un cubo con longitud de arista $k$ para cada número entero $k, 1 \le k \le 8.$ Se construirá una torre utilizando los 8 cubos según las siguientes reglas: 1.- Cualquier cubo puede ser el cubo inferior en la torre. 2.- El cubo inmediatamente encima de un cubo con longitud de arista $k$ debe tener una longitud de arista como máximo de $k+2.$ Sea $T$ el número de torres diferentes que se pueden construir.¿Cuál es el residuo cuando $T$ se divide por 1000?

Determina el residuo cuando $9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{99\cdots9}_{\text{999 9's}}$ es divisible por $1000$.

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos $N$ satisfacen las siguientes propiedades? 1.- El número $N$ es divisible por $7$. 2.- El número formado al invertir los dígitos de $N$ es divisible por $5$.

Definimos $L_n$ como el mínimo común múltiplo de todos los enteros desde $1$ hasta $n$ inclusive. Existe un único entero $h$ tal que$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{17}=\frac{h}{L_{17}}$$¿Cuál es el residuo cuando $h$ es dividido por 17?