Demuestra que existe un entero positivo \(n < 10^6\) tal que \(5^n\) tiene seis ceros consecutivos en su representación decimal.\n

Sea \(a_1, a_2, \dots, a_{2018}\) una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que$$a_1+a_2+\cdots+a_{2018}=2018^{2018}.$$¿Cuál es el residuo cuando \(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_{2018}^3\) es dividido por \(6\)?

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) números enteros positivos. Si \(30|a+b+c\), demuestra que \(30|a^5+b^5+c^5\).

Una de las conjeturas de Euler fue refutada en la década de 1960 por tres matemáticos estadounidenses cuando demostraron que existe un número entero positivo tal que\n\[133^5+110^5+84^5+27^5=n^{5}.\]\nEncuentra el valor de \(n\).\n

Se selecciona al azar un número entero $N$ en el rango $1\leq N \leq 2020$. ¿Cuál es la probabilidad de que el residuo cuando $N^{16}$ se divide por $5$ sea $1$?

Una función $f$ se define de manera recursiva por $f(1)=f(2)=1$ y$$f(n)=f(n−1)−f(n−2)+n$$para todo $n \geq 3$. ¿Cuál es el valor de $f(2018)$?

Una secuencia numérica se define de manera recursiva por $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{3}{7}$ y$$a_n=\frac{a_{n-2}\cdot a_{n-1}}{2a_{n-2}-a_{n-1}}$$para todo $n \geq 3$. El número $a_{2019}$ puede escribirse de la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuál es el valor de $p+q$

La secuencia $a_0,a_1,a_2,\dots$ satisface$$a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})$$para cualesquiera enteros no negativos $m$ y $n$ con $m\ge n$. Si $a_1=1$ determina $a_n$.

Se define una función sobre los enteros positivos de manera recursiva por $f(1) = 2$, $f(n) = f(n-1) + 1$ si $n$ es par, y $f(n) = f(n-2) + 2$ si $n$ es impar y mayor que $1$. ¿Cuál es el valor de $f(2017)$

Se define una secuencia recursiva por $t_1 = 20$, $t_2 = 21$, y $$t_n=\frac{5t_{n-1}+1}{25t_{n-2}}$$para todo $n \ge 3$. El número $t_{2020}$ puede expresarse de la forma $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos entre sí. Encuentra $p+q$.