Fall AMC 12A 2021 Problema 10
La representación en base nueve del número $N$ es $27{,}006{,}000{,}052_{9}$. ¿Cuál es el residuo de $N$ cuando es dividido por 5?
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Teorema de Wolstenholme
Sea $p>3$ un número primo. Pruebe que$$p^2\vert (p-1)!\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{p-1}\right)$$
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Teorema de Wilson
Sea $p$ un número primo. Pruebe que $(p-1)!\equiv-1\pmod p$.
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ARML 2002 Problema 6
Sea $a$ un entero tal que$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$$ Determina el residuo cuando $a$ es dividido por 13.
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Baltic way 2001 Problema 18
Sea $a$ un entero impar. Pruebe que $a^{2^n}+2^{2^n}$ y $a^{2^m}+2^{2^m}$ son primos relativos para cualesquiera enteros positivos $m,n$ con $n\neq m$.
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Proposiciones básicas de aritmética modular
Sean $a,b,c,d$ y $n$ enteros, con $n\neq 0$. Entonces\n\n(a) $a\equiv a \pmod n$.\n\n(b) Si $a\equiv b \pmod n$ y $b\equiv c \pmod n$, entonces $a\equiv c \pmod n$.\n\n(c) Si $a\equiv b \pmod n$, entonces $b\equiv a \pmod n$.\n\n(d) Si $a\equiv b \pmod n$ y $c\equiv d \pmod n$, entonces $a+c\equiv b+d \pmod n$.\n\n(e) Si $a\equiv b \pmod n$ y $c\equiv d \pmod n$, entonces $ac\equiv bd \pmod n$.\n\n(f) Si $a\equiv b \pmod n$, entonces para todo entero $k$, $ka\equiv kb \pmod n$.
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Relación de congruencia (definición)
Sean $a,b$ y $n$ enteros, con $n\neq 0$. Diremos que $a$ y $b$ son congruentes módulo $n$ si ambos dejan el mismo residuo si los dividimos entre $n$, o equivalentemente, si $n$ divide a $a-b$. Denotamos esto por $a\equiv b\pmod n$.
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AIME II 2018 Problema 14
El incírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{BC}$ en $X$. Sea $Y \neq X$ la otra intersección de $\overline{AX}$ con $\omega$. Los puntos $P$ y $Q$ están en $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, respectivamente, de modo que $\overline{PQ}$ es tangente a $\omega$ en $Y$. Supongamos que $AP = 3$, $PB = 4$ y $AC = 8$. Determina la longitud del segmento $AQ$.
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AMC 10A 2014 Problema 22
En el rectángulo $ABCD$, $\overline{AB}=20$ y $\overline{BC}=10$. Sea $E$ un punto en $\overline{CD}$ tal que $\angle CBE=15^\circ$. ¿Cuánto mide $\overline{AE}$?
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AIME II 2014 Problema 14
En el triángulo $\triangle{ABC}$, $AB=10$, $\angle{A}=30^\circ$ y $\angle{C}=45^\circ$. Sean $H, D$ y $M$ puntos en la recta $BC$ tales que $AH\perp{BC}$, $\angle{BAD}=\angle{CAD}$ y $BM=CM$. Sea $N$ el punto medio del segmento $HM$, y sea $P$ un punto en la semirrecta $AD$ tal que $PN\perp{BC}$. Determina la longitud del segmento $AP$.
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