Sea \( f \) una función definida en el intervalo \([0, 1]\) tal que \( f(0) = f(1) = 1 \) y \( |f(a) - f(b)| < |a - b| \), para cualesquiera \( a \neq b \) en el intervalo \([0, 1]\).\nDemuestra que\n\[ |f(a) - f(b)| < \frac{1}{2} \]

La función \( f \), definida por\[ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \]donde \( a, b, c \) y \( d \) son números reales no nulos, cumple las siguientes propiedades\n\[ f(19) = 19, \quad f(97) = 97, \quad \text{y} \quad f(f(x)) = x \]para todos los valores de \( x \), excepto \( -\frac{d}{c} \). Encuentra el rango de \( f \).

Sea \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) una secuencia de enteros tal que\n\n (i) \( -1 \leq x_i \leq 2 \) para \( i = 1, 2, \ldots, n \);\n (ii) \( x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 19 \);\n (iii) \( x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = 99 \).\n\nDetermina los valores mínimo y máximo posibles de\n\[ x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_n^3 \]

¿Cuántos arreglos diferentes de \(4\times 4\) cuyas entradas son todas 1's y -1's tienen la propiedad de que la suma de las entradas en cada fila es 0 y la suma de las entradas en cada columna es 0?

Un cuadrado de dimensiones \((n - 1) \times (n - 1)\) está dividido en \( (n - 1)^2\) cuadrados unitarios de la manera usual. Cada uno de los \( n^2\) vértices de estos cuadrados debe ser coloreado de rojo o azul. Encuentra el número de coloraciones tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de color se consideran diferentes si al menos un vértice tiene un color diferente en los dos esquemas).\n

Un rectángulo \(\mathcal{R}\) con longitudes laterales enteras e impares está dividido en rectángulos más pequeños con longitudes laterales enteras. Demuestra que hay al menos uno entre los rectángulos más pequeños cuyas distancias desde los cuatro lados de \(\mathcal{R}\) son todas impares o todas pares.\n

Sea \(T = \{9^k : k \ \text{es un entero}, 0 \le k \le 4000\}\). Dado que \(9^{4000}\) tiene 3817 dígitos y que su primer dígito (más a la izquierda) es 9, ¿cuántos elementos de \(T\) tienen 9 como su primer dígito?

Sea \(n=2^{31}3^{19}.\) ¿Cuántos divisores enteros positivos de \(n^2\) son menores que \(n\) pero no dividen a \(n\)?\n

La secuencia creciente \(1,3,4,9,10,12,13\cdots\) consiste en todos aquellos enteros positivos que son potencias de 3 o sumas de potencias distintas de 3. Encuentra el término que ocupa la posición 100 de esta secuencia.