AIME II 2001 Problema 5
Un conjunto de números positivos tiene la propiedad del triángulo si tiene tres elementos distintos que son las longitudes de los lados de un triángulo cuya área es positiva. Determina el mayor entero positivo $n$ tal que todos los subconjuntos de diez elmentos del conjunto $\{4,5,6,\dots,n\}$ tienen la propiedad del triángulo.
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AIME II 2012 Problema 14
En un grupo de nueve personas, cada persona se estrecha la mano exactamente con otras dos personas del grupo. Sea \(N\) el número de formas en que se pueden dar estos apretones de manos. Considera dos arreglos de apretones de manos diferentes si y solo si al menos dos personas que se dan la mano en un arreglo no se dan la mano en el otro arreglo. Encuentra el residuo cuando \(N\) se divide por \(1000\).
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Canadian MO 1971 Problema 10
Supongamos que $n$ personas conocen exactamente una pieza de información, y las $n$ piezas son diferentes. Cada vez que la persona $A$ llama a la persona $B$, $A$ le cuenta a $B$ todo lo que $A$ sabe, mientras que $B$ no le cuenta nada a $A$. ¿Cuál es el número mínimo de llamadas telefónicas entre pares de personas necesarias para que todos sepan todo?
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Indonesia MO 2005 Problema 8
En una competición de matemáticas hay $90$ concursantes. Cada concursante se hace amigo de al menos $60$ concursantes. Uno de los concursantes, Amin, afirma que al menos cuatro concursantes tienen la misma cantidad de nuevos amigos. Demuestra o refuta su afirmación.
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Saint Petersburg City MO 1999
Considera los números reales $x_0>x_1>x_2>\cdots>x_n$. Pruebe que$$x_0+\frac{1}{x_0-x_1}+\frac{1}{x_1-x_2}+\cdots+\frac{1}{x_{n-1}-x_n}\geq x_n+2n.$$¿Cuándo se cumple la igualdad?
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PUTNAM 2005 Problema B2
Encuentra todos los enteros positivos \(n, k_1, \dots, k_n\) tales que \(k_1+\cdots+k_n=5n-4\) y\n\[ \frac1{k_1}+\cdots+\frac1{k_n}=1. \]
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China Western Mathematical Olympiad 2002 Problema 6
Dado un entero positivo $n$, encuentra todos los enteros $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$$(1): a_1+a_2+\cdots+a_n\geq n^2$$$$(2):a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\leq n^3+1$$
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JBMO 2013 Problema 3
Demuestra que\[\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16\]para cualesquiera números reales positivos \(a\) y \(b\) tales que \(ab\geq 1\).\n
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Indonesia MO 2008 Problema 2
Demuestra que para cualesquiera números reales positivos \(x\), \(y\), se cumple\[\frac {1}{(1 + \sqrt {x})^{2}} + \frac {1}{(1 + \sqrt {y})^{2}} \ge \frac {2}{x + y + 2}.\]\n
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USAMO 1978 Problema 1
Dados números reales \(a, b, c, d, e\) tales que\[a+b+c+d+e=8,\]\[a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16.\]Determina el valor máximo de \(e\).
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