La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 30 de sep. de 2004, 12:41 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con baricentro $G$. Determine, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ sea un mínimo, y exprese este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 24 de oct. de 2004, 7:05 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 22 de enero de 2026, 8:10 PM Y por Considere una cuadrícula de \(n\times n\). Inicialmente, sus celdas están coloreadas de blanco y negro en un patrón de tablero de ajedrez, como en un tablero de ajedrez, con al menos una celda de esquina coloreada de negro. En un movimiento, los colores de las cuatro celdas de un cuadrado de \(2\times 2\) pueden cambiarse de acuerdo con la siguiente regla: cada celda blanca se vuelve negra, cada celda negra se vuelve verde y cada celda verde se vuelve blanca. Encuentre todos los valores posibles de \(n\) para los cuales, después de cierto número de movimientos, es posible obtener una cuadrícula de \(n\times n\) coloreada solo en blanco y negro, pero con los colores invertidos con respecto al tablero original. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YaoAOPS 1958 publicaciones YaoAOPS #1 h 4 de mar. de 2025, 10:20 p. m. • 1 Y Y por MS_asdfgzxcvb Sean $n, k, l$ enteros positivos que satisfacen $n \ge 3$ , $l \le n - 2, l - k \le \frac{n-3}{2}$ . Suponga que $a_1, a_2, \dots, a_k$ son enteros elegidos de $\{1, 2, \dots, n\}$ tales que el conjunto de residuos de las sumas de subconjuntos sobre todos los subconjuntos de $a_i$ al dividirse por $n$ es exactamente $\{1, 2, \dots, l\}$ . Demuestre que \[ a_1 + a_2 + \dots + a_k = l. \] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por YaoAOPS, 4 de mar. de 2025, 10:23 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheMaskedMagician 2955 publicaciones TheMaskedMagician #1 h 8 de junio de 2014, 6:33 PM • 5 Y Y por AdithyaBhaskar, Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Sean $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1\ldots,b_n$ $2n$ números reales. Demuestre que existe un entero $k$ con $1\le k\le n$ tal que $ \sum_{i=1}^n|a_i-a_k| ~~\le~~ \sum_{i=1}^n|b_i-a_k|.$ (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YaoAOPS 1958 publicaciones YaoAOPS #1 h 9 de mar. de 2025, 9:30 p. m. • 2 Y Y por MS_asdfgzxcvb, MathLuis Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero no cíclico cuyos lados no son paralelos entre sí. Denotemos $B_i$ como la intersección de la recta tangente en $A_i$ con respecto al círculo $A_{i-1}A_iA_{i+1}$ y la $A_{i+2}$-simediana con respecto al triángulo $A_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$, y $C_i$ como la intersección de las rectas $A_iA_{i+1}$ y $B_iB_{i+1}$, donde todos los índices se toman cíclicamente. Demuestre que $C_1$, $C_2$, $C_3$ y $C_4$ son colineales. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por YaoAOPS, 9 de mar. de 2025, 9:52 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ErikLim 271 publicaciones ErikLim #1 h 1 de feb. de 2026, 10:46 a. m. Y para números reales $x, y, z\in(0,1)$ se sabe que $8xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$ . Demuestre que $x+y+z\geqslant1$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iris Aliaj 165 publicaciones Iris Aliaj #1 h 16 de jun. de 2004, 5:27 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Además, sea $D\in[BC]$ un punto tal que $BC>BD>DC>0$, y sean $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ los circuncírculos de los triángulos $ABD$ y $ADC$ respectivamente. Sean $BB'$ y $CC'$ diámetros en los dos círculos, y sea $M$ el punto medio de $B'C'$. Demuestre que el área del triángulo $MBC$ es constante (es decir, no depende de la elección del punto $D$). Grecia Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. M4RI0 639 publicaciones M4RI0 #1 h 28 de mayo de 2006, 10:50 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCD$ un rectángulo con: $AB=a$ , $BC=b$ . Dentro del rectángulo tenemos dos círculos tangentes exteriormente tales que uno es tangente a los lados $AB$ y $AD$ , y el otro es tangente a los lados $CB$ y $CD$ . 1. Encuentre la distancia entre los centros de los círculos (usando $a$ y $b$ ). 2. Cuando los radios de ambos círculos cambian, el punto de tangencia entre ambos cambia y describe un lugar geométrico. Encuentre dicho lugar geométrico. Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. steven_zhang123 559 publicaciones steven_zhang123 #1 h 10 de marzo de 2025, 7:21 a. m. Y por Dado un entero impar $n \geq 3$. Sea $V$ el conjunto de vértices de un $n$-gono regular, y $P$ el conjunto de todos los polígonos regulares formados por puntos en $V$. Por ejemplo, cuando $n=15$, $P$ consiste en $1$ polígono de $15$ lados regular, $3$ pentágonos regulares y $5$ triángulos regulares. Inicialmente, todos los puntos en $V$ están sin colorear. Dos jugadores, $A$ y $B$, juegan un juego donde se turnan para colorear un punto sin colorear, con el jugador $A$ comenzando y coloreando puntos de rojo, y el jugador $B$ coloreando puntos de azul. El juego termina cuando todos los puntos están coloreados. Un polígono regular en $P$ se llama $\textit{bueno}$ si tiene más puntos rojos que puntos azules. Encuentre el entero positivo $k$ más grande tal que, sin importar cómo juegue el jugador $B$, el jugador $A$ puede asegurar que haya al menos $k$ polígonos $\textit{buenos}$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por steven_zhang123, 10 de marzo de 2025, 7:22 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bluecarneal 9298 publicaciones bluecarneal #1 h 12 de sep. de 2011, 10:24 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Determine si los enteros $1,2,\ldots,100$ pueden ser dispuestos en las celdas $C(i, j)$ de una matriz de $10\times10$ (donde $1\le i,j\le 10$), de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones: i) En cada fila, las entradas suman el mismo valor $S$. ii) En cada columna, las entradas también suman este valor $S$. iii) Para todo $k = 1, 2, \ldots, 10$, las diez entradas $C(i, j)$ con $i-j\equiv k\bmod{10}$ suman $S$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria) Z K Y