La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 22 de enero de 2026, 7:53 PM Y por Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo. Sea \(M\) el punto medio del lado \(AB\), y sean \(P\) y \(Q\) los pies de las alturas desde \(A\) y \(B\), respectivamente. El círculo que pasa por \(B\), \(M\) y \(P\) es tangente al lado \(AC\). Demuestre que el círculo que pasa por \(A\), \(M\) y \(Q\) es tangente a la extensión del lado \(BC\). Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. delegat 656 publicaciones delegat #1 h 27 de junio de 2009, 7:30 a. m. • 5 Y Y por Miku_, Adventure10, Mango247, H_Taken y otro usuario más. Cada uno de 2009 puntos distintos en el plano está coloreado de azul o rojo, de tal manera que en cada círculo unitario centrado en un punto azul hay exactamente dos puntos rojos. Encuentre el mayor número posible de puntos azules. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por delegat, 27 de junio de 2009, 4:55 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bluecarneal 9298 publicaciones bluecarneal #1 h 12 de sep. de 2011, 10:24 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Determine si los enteros $1,2,\ldots,100$ pueden ser dispuestos en las celdas $C(i, j)$ de una matriz de $10\times10$ (donde $1\le i,j\le 10$), de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones: i) En cada fila, las entradas suman el mismo valor $S$. ii) En cada columna, las entradas también suman este valor $S$. iii) Para todo $k = 1, 2, \ldots, 10$, las diez entradas $C(i, j)$ con $i-j\equiv k\bmod{10}$ suman $S$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. EthanWYX2009 1196 publicaciones EthanWYX2009 #1 h 29 de mar. de 2025, 8:49 a. m. • 3 Y Y por MS_asdfgzxcvb, cubres, Rounak_iitr Sea \( n \geq 2 \) un entero. Dos jugadores, Alice y Bob, juegan el siguiente juego en el grafo completo \( K_n \): se turnan para realizar operaciones, donde cada operación consiste en colorear una o dos aristas que aún no han sido coloreadas. El juego termina si en algún momento existe un triángulo cuyas tres aristas estén todas coloreadas. Demuestre que existe un número positivo \(\varepsilon\), tal que Alice tiene una estrategia para que, sin importar cómo Bob coloree las aristas, el juego termine con un número de aristas coloreadas que no exceda \[ \left( \frac{1}{4} - \varepsilon \right) n^2 + n. \] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por EthanWYX2009, 29 de mar. de 2025, 8:56 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Djile 24 publicaciones Djile #1 h 4 de abr. de 2012, 5:35 p. m. • 7 Y Y por Amir Hossein, Feridimo, ImSh95, Adventure10, Mango247, farhad.fritl, Leman_Nabiyeva Encuentre todos los números naturales $a$ y $b$ tales que \[a|b^2, \quad b|a^2 \mbox{ y } a+1|b^2+1.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. steven_zhang123 559 publicaciones steven_zhang123 #1 h 10 de marzo de 2025, 7:21 a. m. Y por Dado un entero impar $n \geq 3$. Sea $V$ el conjunto de vértices de un $n$-gono regular, y $P$ el conjunto de todos los polígonos regulares formados por puntos en $V$. Por ejemplo, cuando $n=15$, $P$ consiste en $1$ polígono de $15$ lados regular, $3$ pentágonos regulares y $5$ triángulos regulares. Inicialmente, todos los puntos en $V$ están sin colorear. Dos jugadores, $A$ y $B$, juegan un juego donde se turnan para colorear un punto sin colorear, con el jugador $A$ comenzando y coloreando puntos de rojo, y el jugador $B$ coloreando puntos de azul. El juego termina cuando todos los puntos están coloreados. Un polígono regular en $P$ se llama $\textit{bueno}$ si tiene más puntos rojos que puntos azules. Encuentre el entero positivo $k$ más grande tal que, sin importar cómo juegue el jugador $B$, el jugador $A$ puede asegurar que haya al menos $k$ polígonos $\textit{buenos}$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por steven_zhang123, 10 de marzo de 2025, 7:22 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. M4RI0 639 publicaciones M4RI0 #1 h 28 de mayo de 2006, 10:50 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCD$ un rectángulo con: $AB=a$ , $BC=b$ . Dentro del rectángulo tenemos dos círculos tangentes exteriormente tales que uno es tangente a los lados $AB$ y $AD$ , y el otro es tangente a los lados $CB$ y $CD$ . 1. Encuentre la distancia entre los centros de los círculos (usando $a$ y $b$ ). 2. Cuando los radios de ambos círculos cambian, el punto de tangencia entre ambos cambia y describe un lugar geométrico. Encuentre dicho lugar geométrico. Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 25 de enero de 2026, 7:00 PM Y por Sea \(\triangle ABC\) un triángulo y sea \(O\) un punto en su interior. Sea \(D\) un punto en \(BC\) tal que \(OD\) es perpendicular a \(BC\), y sea \(E\) un punto en \(AC\) tal que \(OE\) es perpendicular a \(AC\). Sea \(M\) el punto medio del lado \(AB\). Si \(DM=EM\), demuestre que \[ \angle OBD=\angle OAE. \] Z K Y