La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 26 de enero de 2026, 11:50 PM Y por Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ , circuncentro $O$ , ortocentro $H$ . Sea $O'$ el punto diametralmente opuesto a $O$ en $(BOC)$ , $M$ el punto medio de $BC$ , $G := \overline{AH} \cap (AOM)$ e $I := \overline{AO'} \cap \omega$ . Demuestre que $IM \parallel OG$ . Propuesto por @Half Blood Prince y @Gandalf Greyhame Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 12 de febrero de 2026, 4:53 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. kamatadu 562 publicaciones kamatadu #1 h 3 de marzo de 2023, 9:10 PM • 2 Y Y por GeoKing, HoripodoKrishno Restaure un cuadrilátero bicéntrico $ABCD$ si se dan los puntos medios de los arcos $AB,BC,CD$ de su círculo circunscrito. Z K Y

1999.6 Un punto $M$ se encuentra sobre el lado $AC$ de un triángulo $ABC$. El círculo $\gamma$ con diámetro $BM$ corta a las rectas $AB$ y $BC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Encuentre el lugar geométrico del punto de intersección de las tangentes a $\gamma$ en $P$ y $Q$ cuando el punto $M$ varía.

30 Sea $f(x)$ una función de valores reales definida para todos los números reales $x$ tal que $|f(x)-f(y)|\leq\frac{1}{2}|x-y|$ para todos los números reales $x,y$. Encuentre (con demostración) el número de soluciones de la ecuación $f(x)=x$. Nota: Aquí $|x|$ es el valor absoluto de $x$.

2023.3 Sea $\Gamma$ un círculo con centro en el punto $O$ y sea $AB$ una cuerda en $\Gamma$ que no pasa por $O$. Sea ahora $C$ un punto distinto de $A$ y $B$, que se encuentra en la circunferencia circunscrita al $\vartriangle ABO$. Sea finalmente $D$ el punto de intersección (distinto de $A$) entre la recta $AC$ y $\Gamma$. Demuestre que el $\vartriangle BCD$ es isósceles.

5 Sea $S$ un conjunto compuesto por enteros positivos. Llamamos a $S$ un $\it{número\ hermoso}$ cuando, para cualesquiera tres elementos distintos $x, y, z$ pertenecientes a $S$, al menos uno de ellos es divisor de $x+y+z$. Demuestre que existe un entero $N$ que satisface la siguiente condición y determine el menor $N$ tal que: para cualquier conjunto $S$ de $\it{números\ hermosos}$, existe un entero $n_s \geq 2$ tal que la cantidad de elementos pertenecientes a $S$ que no son múltiplos de $n_s$ es menor o igual a $N$.

1 Un círculo $\gamma$ se traza a través del punto medio $M$ del arco $BC$ del círculo $\omega$ del triángulo $ABC$ que no contiene al vértice $A$ y del centro $I$ del círculo inscrito en el triángulo. El círculo $\gamma$ corta al lado $BC$ en los puntos $D$ y $E$, y las rectas $MD$ y $ME$ cortan al círculo $\omega$ en los puntos $P$ y $Q$ que son distintos del punto $M$. Demuestre que todas las rectas $PQ$ se cortan en un punto fijo independientemente de la elección del círculo $\gamma$.

2001.5 Sean $A,B,C,D,E,F$ los puntos medios de los lados consecutivos de un hexágono con lados opuestos paralelos. Demuestre que los puntos $AB\cap DE$, $BC\cap EF$ y $AC\cap DF$ están sobre una misma recta.

25 Sea $\{a_n\}_{n\geq1}$ una sucesión de números reales positivos tal que $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}$. Entonces, encuentre $\lim_{n\to\infty}\frac{e^{{a_n}^2}+a_n}{4}$

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 30 de enero de 2026, 12:01 a. m. Y por Demuestre que el punto simediano del triángulo $ABC$ se encuentra dentro del triángulo cuyos vértices son las proyecciones ortogonales de $A,B,C$ sobre $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. Propuesto por @XX-math-XX Z K Y