La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YII.I. 94 publicaciones YII.I. #1 h 10 de enero de 2022, 2:29 PM Y por En un cuadrilátero convexo $ABCD$, hay un punto $P$ en su interior. Dado que $AP\perp AD$, $BP\perp CD$, $AB=7$, $AP=3$, $BP=6$, $AD=5$, $CD=10$. Encuentre el área del $\triangle ABC$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. r00tsOfUnity 696 publicaciones r00tsOfUnity #1 h 8 de feb. de 2023, 12:35 p. m. • 3 Y Y por Soumya_cena, Princesingh_777, ehuseyinyigit Existe un único entero positivo $a$ para el cual la suma \[U=\sum_{n=1}^{2023}\left\lfloor\dfrac{n^{2}-na}{5}\right\rfloor\] es un entero estrictamente entre $-1000$ y $1000$. Para ese $a$ único, encuentre $a+U$. (Note que $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual a $x$.) Z K Y

26 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que tienen una segunda derivada continua y para las cuales se cumple la igualdad $f(7x+1)=49f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. solasky 1568 publicaciones solasky #1 h 30 de junio de 2024, 2:06 AM • 1 Y Y por Rounak_iitr Los puntos $P$ y $Q$ yacen sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$, y el ortocentro del triángulo $ACP$ y el ortocentro del triángulo $ABQ$ se encuentran en la misma ubicación. Cuando $AB = 10$, $AC = 11$, $BP = 5$, $CQ = 6$, encuentre la longitud del lado $BC$. Z K Y

9.8 Un diamante azteca de orden $n$ es una figura en el plano coordenado que consiste en cuadrados unitarios cuyos centros satisfacen la desigualdad $$ |x| + |y| \le n. $$ La imagen de abajo muestra el diamante azteca de orden $4$ junto con la forma de la pieza Z-tetrominó que se utilizará para el recubrimiento: [asy] size(4cm); int n = 4; // ordem do diamante for (int i = -n; i < n; ++i) { for (int j = -n; j < n; ++j) { // centro do quadrado real cx = i + 0.5; real cy = j + 0.5; if (abs(cx) + abs(cy) <= n) { draw((i,j)--(i+1,j)--(i+1,j+1)--(i,j+1)--cycle); } } } // Draw tetramino Z shape at right side, shifted right by 8 units pair[] Z = {(8,1), (9,1), (9,2), (10,2)}; for(int i=0; i < Z.length; ++i) { draw((Z[i].x,Z[i].y)--(Z[i].x+1,Z[i].y)--(Z[i].x+1,Z[i].y+1)--(Z[i].x,Z[i].y+1)--cycle); } [/asy] ¿Es posible recubrir el diamante azteca de orden $2020$ utilizando únicamente Z-tetrominós? (El Z-tetrominó puede rotarse y reflejarse, pero no puede solaparse).

2004.5 El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $AC$ en $D$. Demuestre que el círculo que es tangente a los rayos $[BD)$, $[DC)$ y al circuncírculo de $ABC$ es igual al excírculo del triángulo $ABC$ correspondiente al ángulo $\angle{B}$.

12 Sea $f \colon [a, b] \to [a, b]$ una función diferenciable. Considere un punto $(\alpha, \beta)$ en la recta que une $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ tal que $\alpha \notin [a, b]$. Demuestre que existe una tangente a la curva que pasa por $(\alpha, \beta)$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 12 de feb. de 2026, 1:41 a. m. • 1 Y Y por cubres Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Gamma$ e incentro $I$ y sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$. Los puntos $D, E, F$ se eligen sobre los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ tales que $\overline{ID} \perp \overline{BC}$, $\overline{IE} \perp \overline{AI}$ y $\overline{IF} \perp \overline{AI}$. Suponga que el circuncírculo del $\vartriangle AEF$ corta a $\Gamma$ en un punto $X$ distinto de $A$. Demuestre que las rectas $XD$ y $AM$ se cortan sobre $\Gamma$. Propuesto por @Half Blood Prince (Apareció en una olimpiada local, ISL 2016/G2) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 12 de feb. de 2026, 1:46 a. m. Z K Y

4 Sea $p$ un número primo tal que al dividirlo por $4$ se obtiene un resto de $1$. Demuestre que existen infinitos números naturales $n$ tales que la suma $2^n+n^2$ es divisible por $p$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YII.I. 94 publicaciones YII.I. #1 h 10 de enero de 2022, 2:38 PM Y por ¿De cuántas maneras se pueden elegir $25$ números del conjunto $1,2,\ldots,50$ tales que, para cualesquiera dos números distintos que elijamos, ninguno sea divisor del otro? Z K Y