La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. kamatadu 562 publicaciones kamatadu #1 h 3 de marzo de 2023, 9:12 PM • 3 Y Y por GeoKing, HoripodoKrishno, Rounak_iitr Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico; $M_{ac}$ el punto medio de $AC$; $H_d,H_b$ los ortocentros de $\triangle ABC$ y $\triangle ADC$ respectivamente; $P_d,P_b$ las proyecciones de $H_d$ y $H_b$ sobre $BM_{ac}$ y $DM_{ac}$ respectivamente. Defina de manera similar $P_a,P_c$ para la diagonal $BD$. Demuestre que $P_a,P_b,P_c,P_d$ son concíclicos. Z K Y

25 Sea $\{a_n\}_{n\geq1}$ una sucesión de números reales positivos tal que $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}$. Entonces, encuentre $\lim_{n\to\infty}\frac{e^{{a_n}^2}+a_n}{4}$

2024.5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$ a los lados $AC$ y $AB$ respectivamente. Suponga que $AD$ es el diámetro del círculo $ABC$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $K$ el centro de semejanza interna de los incírculos de los triángulos $BMF$ y $CME$. Demuestre que los puntos $K, M, D$ son colineales. Propuesto por Bilegdemberel Bat-Amgalan.

2 Dé un ejemplo de un conjunto infinito numerable que tenga una colección no numerable de subconjuntos no vacíos tales que la intersección de cualesquiera dos de ellos sea finita.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. kamatadu 562 publicaciones kamatadu #1 h 3 de marzo de 2023, 9:16 PM • 4 Y Y por GeoKing, buratinogigle, LoloChen, HoripodoKrishno Se da un tetraedro $ABCD$. Una recta $\ell$ corta a los planos $ABC,BCD,CDA,DAB$ en los puntos $D_0,A_0,B_0,C_0$ respectivamente. Sea $P$ un punto arbitrario que no se encuentra en $\ell$ ni en los planos de las caras, y sean $A_1,B_1,C_1,D_1$ los segundos puntos comunes de las rectas $PA_0,PB_0,PC_0,PD_0$ con las esferas $PBCD,PCDA,PDAB,PABC$ respectivamente. Demuestre que $P,A_1,B_1,C_1,D_1$ yacen sobre un círculo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 12 de feb. de 2026, 1:36 a. m. Y por Dado un $\vartriangle ABC$ con puntos $D, E$ en $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $B, C, D, E$ son concíclicos. Sea $F = BE \cap CD$. El punto $G$ está en la recta $AF$. $(AGD)$ y $(AGE)$ cortan a $(ABC)$ nuevamente en $X, Y$. Demuestre que si $G$ se mueve sobre $AF$, entonces $XY$ pasa por un punto fijo. Propuesto por @ItzsleepyXD Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 16 de nov. de 2024, 12:26 p. m. • 1 Y Y por mxsail ¿Existen infinitas cuádruplas $(a,b,c,d)$ de enteros positivos tales que el número $a^{a!} + b^{b!} - c^{c!} - d^{d!}$ sea primo y $2 \leq d \leq c \leq b \leq a \leq d^{2024}$ ? Z K Y

23 Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua tal que $$ \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx. $$ Demuestre que existe un $ c\in (0,1) $ tal que $ f(c)=\int_0^c f(x)dx. $

2025.4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y sea $H$ su ortocentro. Sea $T$ un punto arbitrario en el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Sea la recta que pasa por $H$ paralela a $BC$ que interseca a las rectas $TB$ y $TC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAB$ y $QAC$ se intersecan en los puntos $A$ y $S$. Demuestre que $S$ yace sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$. Suponiendo que $\angle PAQ = 2\angle BAC$, demuestre que $\angle PAH = \angle HAQ$ o $\angle PAB = \angle BAH$.

9.8 Un diamante azteca de orden $n$ es una figura en el plano coordenado que consiste en cuadrados unitarios cuyos centros satisfacen la desigualdad $$ |x| + |y| \le n. $$ La imagen de abajo muestra el diamante azteca de orden $4$ junto con la forma de la pieza Z-tetrominó que se utilizará para el recubrimiento: [asy] size(4cm); int n = 4; // ordem do diamante for (int i = -n; i < n; ++i) { for (int j = -n; j < n; ++j) { // centro do quadrado real cx = i + 0.5; real cy = j + 0.5; if (abs(cx) + abs(cy) <= n) { draw((i,j)--(i+1,j)--(i+1,j+1)--(i,j+1)--cycle); } } } // Draw tetramino Z shape at right side, shifted right by 8 units pair[] Z = {(8,1), (9,1), (9,2), (10,2)}; for(int i=0; i < Z.length; ++i) { draw((Z[i].x,Z[i].y)--(Z[i].x+1,Z[i].y)--(Z[i].x+1,Z[i].y+1)--(Z[i].x,Z[i].y+1)--cycle); } [/asy] ¿Es posible recubrir el diamante azteca de orden $2020$ utilizando únicamente Z-tetrominós? (El Z-tetrominó puede rotarse y reflejarse, pero no puede solaparse).