La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 16 de nov. de 2024, 12:26 p. m. • 1 Y Y por mxsail ¿Existen infinitas cuádruplas $(a,b,c,d)$ de enteros positivos tales que el número $a^{a!} + b^{b!} - c^{c!} - d^{d!}$ sea primo y $2 \leq d \leq c \leq b \leq a \leq d^{2024}$ ? Z K Y

11 Sea $f\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ una función continua tal que $f(0) = 0$ y $|f'(x)| \leq |f(x)|$ para todo $x \in [0,1]$. Demuestre que $f(x)=0$ para todo $x\in [0,1]$.

Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de cajas rectangulares que tienen volumen $23$ y área superficial $54$. Suponga que $r$ es el radio mínimo posible de una esfera que puede contener cualquier elemento de $\mathcal{B}$ en su interior. Entonces $r^{2}$ puede expresarse como $\tfrac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentre $p+q$.

3 Sean $a_1,a_2, \ldots , a_n$ números reales. Demuestre que $\sum_{1 \leq i,j \leq n} \dfrac{a_ia_j}{i+j-1} \geq 0$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. centslordm 4859 publicaciones centslordm #1 h 6 de feb. de 2026, 12:19 p. m. • 2 Y Y por Exponent11, oldsoggypizza En un pentágono equiangular, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados es igual a $308,$ y la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a $800.$ El cuadrado del perímetro del pentágono se puede expresar como $m \sqrt n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Encuentre $m + n.$ Z K Y

6 En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se toma el punto $M$ tal que $\measuredangle BMC=\measuredangle AMD$. Sobre los lados $AB$ y $CD$, se construyen externamente los triángulos $ABE$ y $CDF$ tales que \[\measuredangle BAE=\measuredangle DAM, \measuredangle ABE =\measuredangle CBM, \measuredangle CDF=\measuredangle ADM, \measuredangle DCF=\measuredangle BCM\] . Demuestre entonces que los puntos $M$, $E$ y $F$ están alineados.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YII.I. 94 publicaciones YII.I. #1 h 10 de enero de 2022, 2:39 PM • 1 Y Y por JUSTemom Para cualquier entero positivo $n$ , definimos la función $f(n)$ como $$f(n)=\left\{\begin{aligned} &n^{100} &&&& \text{si la suma de los dígitos de}~n~\text{es par} \\ &-n^{100} &&&& \text{si la suma de los dígitos de}~n~\text{es impar} \end{aligned}\right.$$ Suponga que $S=f(1)+f(2)+\ldots+f(10^{100}-1)$ . Encuentre el entero no negativo $m$ más grande, tal que $5^m\mid S$ . Z K Y

4 Sean $a_1,a_2,\dots,a_{2021}$ $2021$ enteros que satisfacen \[ a_{n+5}+a_n>a_{n+2}+a_{n+3}\] para todo entero $n=1,2,\dots,2016$. Encuentre el valor mínimo posible de la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo entre $a_1,a_2,\dots,a_{2021}$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. starchan 1626 publicaciones starchan #1 h 6 de marzo de 2024, 9:56 a. m. • 5 Y Y por GeoKing, AlexCenteno2007, ehuseyinyigit, mxlcv, mxsail Una cuerda $PQ$ del circuncírculo de un triángulo $ABC$ corta a los lados $BC, AC$ en los puntos $A', B'$ respectivamente. Las tangentes al circuncírculo en $A$ y $B$ se cortan en un punto $X$, y las tangentes en los puntos $P$ y $Q$ se cortan en un punto $Y$. La recta $XY$ corta a $AB$ en un punto $C'$. Demuestre que las rectas $AA', BB'$ y $CC'$ son concurrentes. Z K Y

9 Suponga que $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función dos veces diferenciable que satisface $f(0)=1,f^{\prime}(0)=0$ y para todo $x\in [0,\infty)$, satisface \[ f^{\prime \prime}(x)-5f^{\prime}(x)+6f(x)\ge 0 \] Demuestre que, para todo $x\in [0,\infty)$, \[ f(x)\ge 3e^{2x}-2e^{3x} \]