4 Sea $ABC$ un triángulo con su incentro $I$, su incírculo $w$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Una recta que pasa por el punto $A$ perpendicular a la recta $BC$ y una recta que pasa por el punto $M$ perpendicular a la recta $AI$ se cortan en $K$. Demuestre que el círculo que tiene al segmento $AK$ como diámetro es tangente a $w$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YII.I. 94 publicaciones YII.I. #1 h 10 de enero de 2022, 2:34 PM Y por Existe un triángulo rectángulo isósceles $ABC$ con $\angle BAC=90^{\circ}$ y $AB=AC=7$. Tome tres puntos $D,E,F$ en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $\angle EDF=90^{\circ}$, $DE=5$, $DF=3$. Encuentre la longitud de $BD$. Z K Y

19 Sea $f(u)$ una función continua y, para cualquier número real $u$, sea $[u]$ la parte entera de $u$, definida como el mayor entero menor o igual a $u$. Demuestre que para todo $x>1$, \[\int_{1}^{x} [u]([u]+1)f(u)du = 2\sum_{i=1}^{[x]} i \int_{i}^{x} f(u)du\]

20 Sea $f\colon [0,1] \to \mathbb{R}$ una función acotada que satisface \[ f(2x)=3f(x)\quad \forall \, x\in [0,{1}/{2}] .\] Demuestre que $\lim_{x \to 0^+} f(x)=0$ .

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9107 publicaciones Tintarn #1 h 16 de nov. de 2024, 12:26 p. m. • 1 Y Y por mxsail ¿Existen infinitas cuádruplas $(a,b,c,d)$ de enteros positivos tales que el número $a^{a!} + b^{b!} - c^{c!} - d^{d!}$ sea primo y $2 \leq d \leq c \leq b \leq a \leq d^{2024}$ ? Z K Y

Los enteros positivos del $1$ al $100$ inclusive están escritos en una pizarra, cada uno exactamente una vez. Una operación consiste en elegir dos números $a$ y $b$ de la pizarra y borrarlos, para luego escribir el máximo común divisor de $a^2+b^2+2$ y $a^2b^2+3$. Después de varias operaciones, queda solo un entero positivo en la pizarra. Demuestre que este número no puede ser un cuadrado perfecto.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 29 de enero de 2026, 11:47 PM Y sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. $d$ es una recta que pasa por $H$ y es paralela a la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. $E, F$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $B, C$ hacia $d$ respectivamente y $D$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hacia $BC$. Demuestre que el centro de $(DEF)$ se encuentra en la circunferencia de los nueve puntos del triángulo $ABC$. Propuesto por @XX-math-XX Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. kamatadu 562 publicaciones kamatadu #1 h 3 de marzo de 2023, 9:12 PM • 3 Y Y por GeoKing, HoripodoKrishno, Rounak_iitr Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico; $M_{ac}$ el punto medio de $AC$; $H_d,H_b$ los ortocentros de $\triangle ABC$ y $\triangle ADC$ respectivamente; $P_d,P_b$ las proyecciones de $H_d$ y $H_b$ sobre $BM_{ac}$ y $DM_{ac}$ respectivamente. Defina de manera similar $P_a,P_c$ para la diagonal $BD$. Demuestre que $P_a,P_b,P_c,P_d$ son concíclicos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. r00tsOfUnity 696 publicaciones r00tsOfUnity #1 h 8 de feb. de 2023, 12:34 p. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero con longitud de lado $55$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ yacen sobre los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ y $\overline{AB}$, respectivamente, con $BD=7$, $CE=30$ y $AF=40$. Un punto único $P$ dentro del $\triangle ABC$ tiene la propiedad de que \[\measuredangle AEP=\measuredangle BFP=\measuredangle CDP.\] Encuentre $\tan^{2}\left(\measuredangle AEP\right)$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por r00tsOfUnity, 9 de feb. de 2023, 11:25 a. m. Razón: redacción Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 30 de enero de 2026, 12:01 a. m. Y por Demuestre que el punto simediano del triángulo $ABC$ se encuentra dentro del triángulo cuyos vértices son las proyecciones ortogonales de $A,B,C$ sobre $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. Propuesto por @XX-math-XX Z K Y