Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de cajas rectangulares que tienen volumen $23$ y área superficial $54$. Suponga que $r$ es el radio mínimo posible de una esfera que puede contener cualquier elemento de $\mathcal{B}$ en su interior. Entonces $r^{2}$ puede expresarse como $\tfrac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Encuentre $p+q$.