23 $ \mathcal F$ es una familia de subconjuntos de 3 elementos de un conjunto $ X$ . Cada dos elementos distintos de $ X$ están exactamente en $ k$ elementos de $ \mathcal F$ . Se sabe que existe una partición de $ \mathcal F$ en conjuntos $ X_1,X_2$ tal que cada elemento de $ \mathcal F$ tiene una intersección no vacía con ambos $ X_1,X_2$ . Demuestre que $ |X|\leq4$ . Omid

10 Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ una función inyectiva y sobreyectiva. La distancia entre $X$ e $Y$ no es menor que la distancia entre $f(X)$ y $f(Y)$. Demuestre que para todo conjunto $A$ en el plano: \[ S(A) \geq S(f(A))\] donde $S(A)$ es el área de $A$. Omid

Hace 15000 años, el ministerio de Tilif en Persia decidió definir un código para $n\geq2$ ciudades. Cada código es una sucesión de $0,1$ tal que ningún código comienza con otro código. Sabemos que de $2^{m}$ llamadas desde países extranjeros a Persia, $2^{m-a_{i}}$ de ellas provenían de la $i$-ésima ciudad (por lo tanto, $\sum_{i=1}^{n}\frac1{2^{a_{i}}}=1$). Sea $l_{i}$ la longitud del código asignado a la $i$-ésima ciudad. Demuestre que $\sum_{i=1}^{n}\frac{l_{i}}{2^{i}}$ es mínimo si y solo si $\forall i,\ l_{i}=a_{i}$. Omid

26 Se dan un número finito de puntos en la superficie de una esfera, tales que cualesquiera cuatro de ellos yacen en la superficie de un hemisferio abierto. Demuestre que todos los puntos yacen en la superficie de un hemisferio abierto. Omid

5 Sea $n$ un entero positivo impar y sean $x_1,x_2,...,x_n$ $n$ números reales distintos que satisfacen $|x_i -x_j| \le 1$ para $1 \le i < j \le n$. Demuestre que $$\sum_{i<j} |x_i -x_j| \le \left[\frac{n}{2} \right] \left(\left[\frac{n}{2} \right]-1 \right)$$

28 Encuentre todos los números primos $p$ tales que $p = m^2 + n^2$ y $p\mid m^3+n^3-4$. Omid

25 Una hormiga camina sobre la superficie interior de un cubo y se mueve en línea recta. Si la hormiga llega a una arista, se mueve en línea recta sobre el desarrollo plano del cubo. Además, si llega a un vértice, regresará por su propio camino. a) Demuestre que para cada punto de inicio, la hormiga puede tener infinitas opciones de dirección tales que su trayectoria se vuelva periódica. b) Demuestre que si la hormiga comienza desde el punto $A$ y su trayectoria es periódica, entonces para cada punto $B$, si la hormiga comienza con esta dirección, su trayectoria se vuelve periódica. Omid

6 Sea $n$ un entero positivo y $A$ una familia de subconjuntos del conjunto $\{1,2,...,n\},$ ninguno de los cuales contiene a otro subconjunto de $A$. Encuentre la mayor cardinalidad posible de $A$.

7 Sea un triángulo $ABC$, $A_1$ el punto medio del segmento $[BC]$, $B_1 \in (AC)$ y $C_1 \in (AB)$ tales que $[A_1B_1$ es la bisectriz del ángulo $AA_1C$ y $A_1C_1$ es perpendicular a $AB$. Demuestre que las rectas $AA_1, BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes si y solo si $\angle BAC = 90^o$.

4 Ocho huéspedes llegan a un hotel con cuatro habitaciones. Cada huésped no tiene afinidad con a lo sumo otros tres huéspedes y no desea compartir habitación con ninguno de ellos (este sentimiento es mutuo). Demuestre que los huéspedes pueden alojarse en las cuatro habitaciones, con dos personas en cada habitación.