17 Sea $p=4k+1$ un número primo. Demuestre que $p$ tiene al menos $\frac{\phi(p-1)}2$ raíces primitivas. Omid

23 $ \mathcal F$ es una familia de subconjuntos de 3 elementos de un conjunto $ X$ . Cada dos elementos distintos de $ X$ están exactamente en $ k$ elementos de $ \mathcal F$ . Se sabe que existe una partición de $ \mathcal F$ en conjuntos $ X_1,X_2$ tal que cada elemento de $ \mathcal F$ tiene una intersección no vacía con ambos $ X_1,X_2$ . Demuestre que $ |X|\leq4$ . Omid

1 Encuentre todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x^2 +y^2 = 6z \\ y^2 +z^2 = 6x \\ z^2 +x^2 = 6y \end{cases}$$

12 $\mathbb{N}_{10}$ es una generalización de $\mathbb{N}$ tal que cada hipernúmero en $\mathbb{N}_{10}$ es de la forma: $\overline{...a_2a_1a_0}$ con $a_i \in \{0,1..9\}$ (Note que $\overline {...000} \in \mathbb{N}_{10}$). Además, tenemos fácilmente $+$ y $*$ en $\mathbb{N}_{10}$. El primer número $k$ de $a*b$ = primer número $k$ de (primer número $k$ de $a$ * primer número $k$ de $b$). El primer número $k$ de $a+b$ = primer número $k$ de (primer número $k$ de $a$ + primer número $k$ de $b$). Por ejemplo, $\overline {...999}+ \overline {...0001}= \overline {...000}$. Demuestre que todo polinomio mónico en $\mathbb{N}_{10}[x]$ de grado $d$ tiene a lo sumo $d^2$ raíces. Omid

17 Se le entrega una calculadora simple. (Contiene 8 dígitos y solo realiza las operaciones +, -, *, / y $ \sqrt{\mbox{}}$). ¿Cómo puede encontrar $ 3^{\sqrt{2}}$ con una precisión de 6 dígitos? Omid

5 Los números naturales $a_1,a_2,...,a_n, n \ge 12$, son menores que $9n^2$ y coprimos dos a dos. Demuestre que al menos uno de estos números es primo.

8 Demuestre que los números $18^n$ y $2^n + 18^n$ tienen la misma cantidad de dígitos (escritos en base 10), para todo número natural $n$.

12 Hay una lámpara en el espacio. (Considere la lámpara como un punto). ¿Existen un número finito de esferas iguales en el espacio tales que la luz de la lámpara no pueda ir al infinito? (Si un rayo choca con una esfera, se detiene). Omid

16 El segmento $ AB$ está fijo en el plano. Encuentre el mayor $ n$ tal que existen $ n$ puntos $ P_1,P_2,\dots,P_n$ en el plano para los cuales los triángulos $ ABP_i$ son semejantes para $ 1\leq i\leq n$ . Demuestre que todos los $ P_i$ yacen sobre un círculo. Omid

4 Un hombre tiene un candelabro de siete velas. La primera noche encendió una vela durante una hora, la segunda noche encendió dos velas, también durante una hora, y así sucesivamente. Después de una hora en la séptima noche, las siete velas se consumieron simultáneamente. ¿Cómo eligió el hombre las velas que encendía cada noche?