23 $ \mathcal F$ es una familia de subconjuntos de 3 elementos de un conjunto $ X$ . Cada dos elementos distintos de $ X$ están exactamente en $ k$ elementos de $ \mathcal F$ . Se sabe que existe una partición de $ \mathcal F$ en conjuntos $ X_1,X_2$ tal que cada elemento de $ \mathcal F$ tiene una intersección no vacía con ambos $ X_1,X_2$ . Demuestre que $ |X|\leq4$ . Omid

21 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ enteros, no todos iguales. Demuestre que existen infinitos números primos $p$ tales que para algún $k$ \[ p\mid a_1^k + \dots + a_n^k.\] Omid

3 Los ángulos de un triángulo acutángulo $ABC$ son $\alpha, \beta, \gamma$. Sea $AD$ una altura, $CF$ una mediana y $BE$ la bisectriz del $\angle B$. Demuestre que $AD, CF$ y $BE$ son concurrentes si y solo si $\cos \gamma \tan\beta = \sin \alpha$.

4 Un hombre tiene un candelabro de siete velas. La primera noche encendió una vela durante una hora, la segunda noche encendió dos velas, también durante una hora, y así sucesivamente. Después de una hora en la séptima noche, las siete velas se consumieron simultáneamente. ¿Cómo eligió el hombre las velas que encendía cada noche?

18 En el tetraedro $ ABCD$ , los radios de los circuncírculos de las cuatro caras son iguales. Demuestre que $ AB=CD$ , $ AC=BD$ y $ AD=BC$ . Omid

20 Suponga que $ M$ es un punto arbitrario en el lado $ BC$ del triángulo $ ABC$. $ B_1, C_1$ son puntos en $ AB, AC$ tales que $ MB = MB_1$ y $ MC = MC_1$. Suponga que $ H, I$ son el ortocentro del triángulo $ ABC$ y el incentro del triángulo $ MB_1C_1$. Demuestre que $ A, B_1, H, I, C_1$ yacen sobre un círculo. Omid

22 Suponga que $\mathcal{F}$ es una familia de subconjuntos de $X$. $A, B$ son dos subconjuntos de $X$ tales que cada elemento de $\mathcal{F}$ tiene una intersección no vacía con $A$ y $B$. Sabemos que ningún subconjunto de $X$ con $n - 1$ elementos tiene esta propiedad. Demuestre que existe una representación de $A, B$ en la forma $A = \{a_1, \dots, a_n\}$ y $B = \{b_1, \dots, b_n\}$, tal que para cada $1 \leq i \leq n$, existe un elemento de $\mathcal{F}$ que contiene tanto a $a_i$ como a $b_i$. Omid

6 Encuentre todos los pares $(m,n)$ de enteros con $m > n > 7$ para los cuales existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p(7) = 77, p(m) = 0$ y $p(n) = 85$.

Hace 15000 años, el ministerio de Tilif en Persia decidió definir un código para $n\geq2$ ciudades. Cada código es una sucesión de $0,1$ tal que ningún código comienza con otro código. Sabemos que de $2^{m}$ llamadas desde países extranjeros a Persia, $2^{m-a_{i}}$ de ellas provenían de la $i$-ésima ciudad (por lo tanto, $\sum_{i=1}^{n}\frac1{2^{a_{i}}}=1$). Sea $l_{i}$ la longitud del código asignado a la $i$-ésima ciudad. Demuestre que $\sum_{i=1}^{n}\frac{l_{i}}{2^{i}}$ es mínimo si y solo si $\forall i,\ l_{i}=a_{i}$. Omid

18 Considere la cuadrícula cuadrada con $A=(0,0)$ y $C=(n,n)$ en sus extremos diagonales. Los caminos desde $A$ hasta $C$ están compuestos por movimientos de una unidad a la derecha o una unidad hacia arriba. Sea $C_n$ (el n-ésimo número de Catalan) el número de caminos desde $A$ hasta $C$ que permanecen sobre o por debajo de la diagonal $AC$. Demuestre que el número de caminos desde $A$ hasta $C$ que cruzan $AC$ desde abajo a lo sumo dos veces es igual a $C_{n+2}-2C_{n+1}+C_n$.