24 Sean $ A,B$ puntos fijos. Una recta variable $ l$ pasa por el punto fijo $ C$ . Existen dos círculos que pasan por $ A,B$ y son tangentes a $ l$ en $ M,N$ . Demuestre que el circuncírculo de $ AMN$ pasa por un punto fijo. Omid

1 Dos círculos $k_1(O_1,R)$ y $k_2(O_2,r)$ están dados en el plano tales que $R \ge \sqrt2 r$ y $$O_1O_2 =\sqrt{R^2 +r^2 - r\sqrt{4R^2 +r^2}}.$$ Sea $A$ un punto arbitrario en $k_1$. Las tangentes desde $A$ a $k_2$ tocan a $k_2$ en $B$ y $C$ e intersecan a $k_1$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. Demuestre que $BD \cdot CE = r^2$.

27 $ S\subset\mathbb N$ se denomina conjunto cuadrado si, para todo $ x,y\in S$ , $ xy+1$ es el cuadrado de un entero. a) ¿Es $ S$ finito? b) Encuentre el número máximo de elementos de $ S$ . Omid

5 Sea $k$ un entero positivo y $r_n$ el resto cuando ${2 n} \choose {n}$ se divide por $k$. Encuentre todos los $k$ para los cuales la sucesión $(r_n)_{n=1}^{\infty}$ es eventualmente periódica.

4 Sea $f : [0,1] \to [0,1]$ una función continua y estrictamente creciente tal que $f(0) = 0$ y $f(1) = 1$. Demuestre que $$f\left(\frac{1}{10}\right) + f\left(\frac{2}{10}\right) +...+f\left(\frac{9}{10}\right) +f^{-1}\left(\frac{1}{10}\right) +...+f^{-1}\left(\frac{9}{10}\right) \le \frac{99}{10}$$

25 Sean $ A,B,C,Q$ puntos fijos en el plano. $ M,N,P$ son los puntos de intersección de $ AQ,BQ,CQ$ con $ BC,CA,AB$ , respectivamente. $ D',E',F'$ son los puntos de tangencia del incírculo del triángulo $ ABC$ con $ BC,CA,AB$ . Las tangentes trazadas desde $ M,N,P$ (que no son los lados del triángulo) al incírculo del triángulo $ ABC$ forman el triángulo $ DEF$ . Demuestre que $ DD',EE',FF'$ se intersecan en $ Q$ . Omid

10 Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ una función inyectiva y sobreyectiva. La distancia entre $X$ e $Y$ no es menor que la distancia entre $f(X)$ y $f(Y)$. Demuestre que para todo conjunto $A$ en el plano: \[ S(A) \geq S(f(A))\] donde $S(A)$ es el área de $A$. Omid

15 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales arbitrarios. Demuestre la desigualdad \[ \frac{x_1}{1+x_1^2} + \frac{x_2}{1+x_1^2 + x_2^2} + \cdots + \frac{x_n}{1 + x_1^2 + \cdots + x_n^2} < \sqrt{n}. \]

13 Suponga que $f$ es un polinomio en $\mathbb{Z}[X]$ y $m$ es un entero. Considere la sucesión $a_i$ definida como $a_1=m$ y $a_{i+1}=f(a_i)$. Encuentre todos los polinomios $f$ y todos los enteros $m$ tales que para todo $i$: \[ a_i | a_{i+1}\] Omid

28 Hay $ n$ puntos en $ \mathbb R^3$ tales que cualesquiera tres de ellos forman un triángulo acutángulo. Encuentre el máximo de $ n$ . Omid