8 a) Demuestre que para ningún número real a tal que $0 \le a <1$ existe una función definida sobre el conjunto de todos los números positivos y que toma valores en el mismo conjunto, que satisfaga para todo $x$ positivo la igualdad $$f\left(f(x)+\frac{1}{f(x)}\right)=x+a \,\,\,\,\,\,\, (*) $$ b) Demuestre que para cualquier $a>1$ existen infinitas funciones definidas sobre el conjunto de todos los números positivos, con valores en el mismo conjunto, que satisfacen ( $*$ ) para todo $x$ positivo.

13 Suponga que $f$ es un polinomio en $\mathbb{Z}[X]$ y $m$ es un entero. Considere la sucesión $a_i$ definida como $a_1=m$ y $a_{i+1}=f(a_i)$. Encuentre todos los polinomios $f$ y todos los enteros $m$ tales que para todo $i$: \[ a_i | a_{i+1}\] Omid

Sea $ABC$ un triángulo y $O$ el centro de su circunferencia circunscrita. Sea una recta que pasa por el punto $O$ e interseca las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Sean $S$ y $R$ los puntos medios de los segmentos $BN$ y $CM$, respectivamente. Demuestre que $\measuredangle ROS=\measuredangle BAC$.

2 Demuestre que para cualquier $ n $ impar existe un único polinomio $ P(x) $ de grado $ n $ que satisface la ecuación $ P \left( x - \frac{1}{x} \right) = x^n - \frac{1}{x^n} $. ¿Es esto cierto para cualquier número natural $ n $?

14 Sea $p$ un primo impar y sea $a$ un entero no divisible por $p$. Demuestre que existen $p^2+1$ ternas de enteros $(x,y,z)$ con $0 \le x,y,z < p$ tales que $(x+y+z)^2 \equiv axyz \pmod p$.

17 Sea $p=4k+1$ un número primo. Demuestre que $p$ tiene al menos $\frac{\phi(p-1)}2$ raíces primitivas. Omid

20 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que \[\frac{a}b+\frac{b}c+\frac{c}a \geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}\]

3 Sea $p$ un número primo, determine todos los enteros positivos $(x, y, z)$ tales que: $x^p + y^p = p^z$

3 Los ángulos de un triángulo acutángulo $ABC$ son $\alpha, \beta, \gamma$. Sea $AD$ una altura, $CF$ una mediana y $BE$ la bisectriz del $\angle B$. Demuestre que $AD, CF$ y $BE$ son concurrentes si y solo si $\cos \gamma \tan\beta = \sin \alpha$.

28 Hay $ n$ puntos en $ \mathbb R^3$ tales que cualesquiera tres de ellos forman un triángulo acutángulo. Encuentre el máximo de $ n$ . Omid