8 Demuestre que los números $18^n$ y $2^n + 18^n$ tienen la misma cantidad de dígitos (escritos en base 10), para todo número natural $n$.

23 Encuentre todas las sucesiones recursivas lineales homogéneas tales que existe un $T$ tal que $a_n=a_{n+T}$ para todo $n$. Omid

5 10.5

21 Sea $ ABC$ un triángulo. $ W_a$ es un círculo con centro en $ BC$ que pasa por $ A$ y es perpendicular al circuncírculo de $ ABC$. $ W_b, W_c$ se definen de manera similar. Demuestre que los centros de $ W_a, W_b, W_c$ son colineales. Omid

3 Los ángulos de un triángulo acutángulo $ABC$ son $\alpha, \beta, \gamma$. Sea $AD$ una altura, $CF$ una mediana y $BE$ la bisectriz del $\angle B$. Demuestre que $AD, CF$ y $BE$ son concurrentes si y solo si $\cos \gamma \tan\beta = \sin \alpha$.

16 El segmento $ AB$ está fijo en el plano. Encuentre el mayor $ n$ tal que existen $ n$ puntos $ P_1,P_2,\dots,P_n$ en el plano para los cuales los triángulos $ ABP_i$ son semejantes para $ 1\leq i\leq n$ . Demuestre que todos los $ P_i$ yacen sobre un círculo. Omid

18 En el tetraedro $ ABCD$ , los radios de los circuncírculos de las cuatro caras son iguales. Demuestre que $ AB=CD$ , $ AC=BD$ y $ AD=BC$ . Omid

22 Sean $ a_1=a_2=1$ y \[ a_{n+2}=\frac{n(n+1)a_{n+1}+n^2a_n+5}{n+2}-2\] para cada $ n\in\mathbb N$ . Encuentre todos los $ n$ tales que $ a_n\in\mathbb N$ . Omid

3 El círculo inscrito en el triángulo $ ABC $ , con centro $O$ , toca los lados $ AB $ y $ BC $ en los puntos $ C_1 $ y $ A_1 $ , respectivamente. Las rectas $ CO $ y $ AO $ intersecan a la recta $ C_1A_1 $ en los puntos $ K $ y $ L $ . $ M $ es el punto medio de $ AC $ y $ \angle ABC = 60^\circ $ . Demuestre que $ KLM $ es un triángulo equilátero.

20 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que \[\frac{a}b+\frac{b}c+\frac{c}a \geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}\]