Criterios básicos de divisibilidad.
Las reglas de divisibilidad son algoritmos eficientes que sirven para saber si un entero $n$ es divisible entre un divisor $d$ sin tener que hacer toda la división larga. Estas reglas son herramientas fundamentales en teoría de números, sobre todo en concursos como el AMC 8 y el AMC 10. Son esenciales para cosas como la factorización en primos, simplificar fracciones, encontrar cuántos divisores tiene un número y resolver ecuaciones diofánticas. Dominar estas reglas básicas te permite analizar rápido las propiedades de números grandes, lo que te ahorra mucho tiempo en los exámenes.
La intuición detrás de estas reglas viene de cómo escribimos los números en el sistema decimal (base 10). Cualquier entero lo puedes escribir como una suma de potencias de 10 multiplicadas por sus dígitos. Como la divisibilidad se mantiene bajo la aritmética modular, puedes analizar las potencias de 10 módulo $d$. Para divisores como 2 y 5, que son factores de la base (10), la divisibilidad solo depende del último dígito. Para divisores como 4, que divide a $100$ (el cuadrado de la base), depende de los últimos dos dígitos.
Para el divisor 3, la regla se basa en que $10 \equiv 1 \pmod 3$. Esto significa que cualquier potencia de 10 es congruente a 1 módulo 3, lo que te permite cambiar el valor de cada posición por