Divisible entre 2 y 3 a la vez.
La regla de divisibilidad del 6 es una regla compuesta, lo que significa que sale de los factores primos del número 6. Como $6 = 2 \times 3$, y el 2 y el 3 son primos relativos (coprimos), un número es divisible por 6 si y solo si es divisible tanto por 2 como por 3. Esta idea se basa en una propiedad fundamental de la teoría de números: si un entero $n$ es divisible por dos enteros coprimos $a$ y $b$, entonces $n$ es divisible por su producto $a \times b$.
Para aplicar esta regla bien, tienes que hacer dos comprobaciones al mismo tiempo. Primero, checa la divisibilidad por 2: el número tiene que ser par (terminar en 0, 2, 4, 6 u 8). Segundo, checa la divisibilidad por 3: la suma de los dígitos del número tiene que ser divisible por 3. Si el número cumple ambas condiciones, es divisible por 6. Si falla en cualquiera de las dos, no lo es.
Esta técnica es básica en las matemáticas de olimpiada para la factorización de primos, simplificar fracciones y resolver ecuaciones diofánticas. Sirve como un ejemplo fundamental de cómo armar reglas de divisibilidad para números compuestos (por ejemplo, la regla del 12 implica checar el 3 y el 4, no el 2 y el 6). Entender por qué checas el 2 y el 3 —específicamente porque $\gcd(2,3)=1$— evita errores comunes cuando trabajas con módulos compuestos más grandes.
Toma un entero $n$ con dígitos $d_k d_{k-1} \dots d_1 d_0$.
La Condición General: $$n \equiv 0 \pmod 6 \iff n \equiv 0 \pmod 2 \quad \text{and} \quad n \equiv 0 \pmod 3$$
Las Pruebas Específicas:
Teorema General para Divisores Compuestos: Si $n, a, b$ son enteros y $\gcd(a, b) = 1$, entonces: $$a \mid n \text{ and } b \mid n \iff ab \mid n$$
Teorema: Un entero $n$ es divisible por 6 si y solo si $n$ es divisible por 2 y $n$ es divisible por 3.
Demostración:
Hay que demostrar la afirmación en ambas direcciones.
Parte 1: $(\Rightarrow)$ Supón que $n$ es divisible por 6. Por definición, hay un entero $k$ tal que: $$n = 6k$$ Como $6 = 2 \times 3$, puedes reescribir esto como: $$n = 2(3k) \implies n \text{ is divisible by } 2$$ $$n = 3(2k) \implies n \text{ is divisible by } 3$$ Así que, si $6 \mid n$, entonces $2 \mid n$ y $3 \mid n$.
Parte 2: $(\Leftarrow)$ Supón que $n$ es divisible por 2 y $n$ es divisible por 3. Como $2 \mid n$, puedes escribir $n = 2j$ para algún entero $j$. Ya sabes que $3 \mid n$. Si sustituyes $n = 2j$, tienes: $$3 \mid 2j$$ Como el 3 es un número primo y $\gcd(3, 2) = 1$, por el Euclid's Lemma, el 3 tiene que dividir a $j$. Por lo tanto, puedes escribir $j = 3m$ para algún entero $m$. Sustituye esto de nuevo en la expresión para $n$: $$n = 2(3m)$$ $$n = 6m$$ Por definición, esto significa que $n$ es divisible por 6.
Conclusión: $6 \mid n$ si y solo si $2 \mid n$ y $3 \mid n$. $\square$