Los últimos dos dígitos son múltiplos de 4.
La regla de divisibilidad del 4 es una herramienta fundamental en teoría de números que te permite determinar si un entero grande es múltiplo de 4 con solo revisar sus últimas dos cifras. Específicamente, un entero es divisible entre 4 si y solo si el número formado por sus últimas dos cifras es divisible entre 4. Por ejemplo, para checar si $13,516$ es divisible entre 4, ignora el $13,500$ y fíjate solo en el $16$. Como $16$ es divisible entre 4, todo el número $13,516$ también lo es. Por el contrario, para $7,814$, mira el $14$. Como $14$ no es divisible entre 4, $7,814$ tampoco lo es.
La intuición detrás de esta regla viene del sistema de valor posicional en base 10. Como $100$ es un múltiplo de $4$ ($100 = 4 \times 25$), cualquier múltiplo de $100$ también es divisible entre $4$. Cuando escribes un número en su forma expandida, cada valor posicional desde las centenas hacia arriba ($100, 1000, 10000, \dots$) contiene un factor de $100$. Por lo tanto, la "parte de adelante" del número es automáticamente divisible entre 4, y la divisibilidad de todo el número depende totalmente del resto, que es el valor que está en las decenas y las unidades.
Vas a usar mucho este concepto en competencias como el AMC 8 y el AMC 10 para factorización prima, simplificar fracciones y resolver problemas de dígitos. También es esencial para problemas de aritmética modular que involucran potencias de 2 y para identificar años bisiestos (donde un año tiene que ser divisible entre 4, con algunas excepciones para los años que terminan en doble cero). Dominar esta regla te permite hacer cálculos mentales rápidos y es un requisito para entender congruencias módulo $2^k$.
Supón que $n$ es un entero con dígitos $d_k d_{k-1} \dots d_1 d_0$. El número formado por los últimos dos dígitos es $10d_1 + d_0$.
La Regla Estándar: $$4 \mid n \iff 4 \mid (10d_1 + d_0)$$
Formulación en Aritmética Modular: $$n \equiv 10d_1 + d_0 \pmod{4}$$
Cálculo Simplificado: Como $10 \equiv 2 \pmod{4}$, puedes simplificar aún más la revisión: $$n \equiv 2d_1 + d_0 \pmod{4}$$ Esto significa que $n$ es divisible entre 4 si y solo si el doble del dígito de las decenas más el dígito de las unidades es divisible entre 4.
Teorema: Sea $n$ un entero positivo. $n$ es divisible entre 4 si y solo si el número formado por sus últimas dos cifras es divisible entre 4.
Demostración: Digamos que la representación decimal de $n$ es $d_k d_{k-1} \dots d_1 d_0$. Puedes expresar $n$ como la suma de sus últimos dos dígitos y los valores posicionales más altos: $$n = d_k \cdot 10^k + \dots + d_2 \cdot 10^2 + (10d_1 + d_0)$$
Puedes factorizar $100$ (que es $10^2$) de todos los términos que tienen los dígitos desde $d_2$ hasta $d_k$: $$n = 100(d_k \cdot 10^{k-2} + \dots + d_2) + (10d_1 + d_0)$$
Si $A = d_k \cdot 10^{k-2} + \dots + d_2$ es el entero representado por los dígitos de $n$ quitando los últimos dos, y $B = 10d_1 + d_0$ es el entero formado por las últimas dos cifras, puedes reescribir la ecuación como: $$n = 100A + B$$
Nota que $100 = 4 \times 25$. Por lo tanto, $100A = 4 \times 25A$. Esto implica que $100A$ siempre es divisible entre 4, sin importar el valor de $A$. En notación de aritmética modular, lo escribimos así: $$100A \equiv 0 \pmod{4}$$
Ahora, analiza $n \pmod{4}$: $$n \equiv 100A + B \pmod{4}$$ $$n \equiv 0 + B \pmod{4}$$ $$n \equiv B \pmod{4}$$
Esta congruencia muestra que $n$ es congruente con $0$ módulo $4$ (es decir, divisible entre 4) si y solo si $B$ es congruente con $0$ módulo $4$.
Así que, $4 \mid n \iff 4 \mid (10d_1 + d_0)$. $\square$