573 Un grafo tiene $17$ puntos y cada punto tiene $4$ aristas. Demuestre que existen dos puntos que no están conectados y que no están ambos conectados al mismo punto.

5 Si $P$ es un punto en el interior de un tetraedro regular $A_1A_2A_3A_4$, sean $x_1, x_2, x_3, x_4$ las distancias de $P$ a las cuatro caras del tetraedro. Sea $h$ la distancia de $A_4$ a la cara del triángulo $A_1A_2A_3$. a) Demuestre que existe exactamente un punto $P^*$ en el interior de $A_1A_2A_3A_4$ para el cual las cuatro distancias $x_1, x_2, x_3, x_4$ tienen el valor $\frac{h}{4}$. b) Demuestre que para todo punto $P$ en el interior del tetraedro, el producto $x_1x_2x_3x_4$ alcanza su valor máximo si y solo si $P$ coincide con el punto $P^*$ mencionado en (a).

540 $ABCD$ es un rectángulo. Se eligen los puntos $K, L, M, N$ sobre $AB, BC, CD, DA$ respectivamente, de tal manera que $KL$ es paralelo a $MN$ y $KM$ es perpendicular a $LN$. Demuestre que la intersección de $KM$ y $LN$ se encuentra sobre $BD$.

2 Si $x$ es un número real, sea $[x]$ el mayor entero que no es mayor que $x$. (Por ejemplo, $[\pi] = 3$, $[0,7] = 0$, $[-0,7] = -1$.) a) Demuestre que existen dos números racionales $a, b$ tales que los números $$c_n = a \cdot n + b - [a\cdot n + b], \,\,\, (n = 1, 2, ...)$$ forman una sucesión no constante y que todos los $c_n \ne 0$. b) Demuestre que para cualesquiera dos números racionales $a, b$, la sucesión definida en a) tiene un mínimo.

564 Encuentre todos los $x, y$ reales tales que $$\begin{cases}(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) = 1+ y^7 \\ (1 + y)(1 + y^2)(1 + y^4) = 1+ x^7 \end{cases}$$

570 Defina la sucesión $a_1 = 1, a_2, a_3, ...$ mediante $$a_{n+1} = a_1^2 + a_2 ^2 + a_3^2 + ... + a_n^2 + n$$ Demuestre que $1$ es el único cuadrado en la sucesión.

542 Se coloca un signo menos en una casilla de un tablero de $5 \times 5$ y se colocan signos más en las casillas restantes. Un movimiento consiste en seleccionar un cuadrado de $2 \times 2, 3 \times 3, 4 \times 4$ o $5 \times 5$ y cambiar todos los signos dentro de él. ¿Qué posiciones iniciales permiten una serie de movimientos para cambiar todos los signos a más?

557 Los números reales $x_1, x_2, ... , x_{1991}$ satisfacen $$|x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| + ... + |x_{1990} - x_{1991}| = 1991$$ ¿Cuál es el valor máximo posible de $$|s_1 - s_2| + |s_2 - s_3| + ... + |s_{1990} - s_{1991}|$$ donde $$s_n = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}?$$

Se escriben $n$ números en una pizarra. Luego, alguien borra repetidamente dos números y escribe en su lugar la mitad de su media aritmética, hasta que solo queda un único número. Si todos los números originales eran $1$, demuestre que el número final no es menor que $\frac{1}{n}$.

6 Se debe demostrar que para toda cuádrupla de números reales positivos $a, b, c, d$ se cumple la relación $$\sqrt[3]{\frac{abc + abd + acd + bcd}{4}} \le \sqrt{\frac{ab + ac + ad + bc + bd + cd}{6}},$$ y se debe investigar en qué casos ocurre la igualdad.