511 Demuestre que $x^4 > x - \frac12$ para todo número real $x$.

546 La figura de abajo está cortada a lo largo de las líneas en polígonos (que no necesitan ser convexos). Ningún polígono contiene un cuadrado de $2 \times 2$. ¿Cuál es el menor número posible de polígonos? [figura faltante]

2 Los ángulos interiores de un triángulo han sido medidos. La suma de los valores medidos $u, v, w$ obtenidos (como aproximaciones de las medidas reales de los ángulos interiores) es $180^o + \delta$ con $\delta \ne 0^o$. Se deben utilizar tres valores de corrección $x, y, z$ para modificar los valores medidos de tal manera que la suma de los valores resultantes $u + x$, $v + y$, $w + z$ sea igual a $180^o$. Demuestre que para todos los posibles valores de corrección $x, y, z$ bajo estas condiciones, el valor $S = x^2 + y^2 + z^2$ es mínimo si y solo si $x = y = z = -\frac{\delta}{3}$.

4 Los vértices de un $n$-gono regular con centro $M$ se etiquetan secuencialmente como $P_1, P_2, ..., P_n$. a) Demuestre que los segmentos de recta $MP_k$ ($k = 1, 2, ..., n$) pueden trasladarse paralelamente a sí mismos de tal manera que, después de la traslación, formen los lados de un $n$-gono regular. b) Demuestre (por ejemplo, usando el teorema del inciso a)) que las siguientes relaciones son válidas para todo número natural $n$ mayor que $2$: $$\cos \frac{2\pi}{n}+ \cos \frac{4\pi}{n} + ... + \cos \frac{2\pi n}{n}= 0 $$ $$\sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + ... + \sin \frac{2\pi n}{n}= 0$$

512 La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demuestre que las diagonales son iguales.

3 Determine el mayor número de regiones disjuntas por pares en las que se puede dividir la superficie de una esfera mediante $n$ círculos trazados sobre dicha superficie.

¿Cuál de todos los planos que contienen una misma diagonal de un cubo de longitud de arista $a$ corta al cubo produciendo una figura de sección con el área más pequeña? Calcule el área de dicha figura de sección.

4 Considere un rectángulo con lados $2a$ y $2b$, donde $a > b$. Se deben recortar cuatro triángulos rectángulos congruentes (un triángulo en cada vértice de este rectángulo, cuyos catetos se encuentren sobre los lados del rectángulo) de modo que la figura restante forme un octágono con lados de igual longitud. El lado del octágono debe expresarse en términos de $a$ y $b$ y construirse a partir de $a$ y $b$. Además, se debe establecer bajo qué condiciones se puede resolver el problema.

543 Demuestre que $\frac{(x + y + z)^2}{3} \ge x\sqrt{yz} + y\sqrt{zx} + z\sqrt{xy}$ para todos los números reales no negativos $x, y, z$.

Dos jugadores $A$ y $B$ mueven alternativamente un caballo en un tablero de ajedrez de $1994\times 1994$. El jugador $A$ realiza solo movimientos horizontales, es decir, aquellos en los que el caballo se mueve a una fila adyacente, mientras que $B$ realiza solo movimientos verticales. Inicialmente, el jugador $A$ coloca el caballo en una casilla arbitraria y realiza el primer movimiento. El caballo no puede ser movido a una casilla que ya haya sido visitada durante el juego. Un jugador que no pueda realizar un movimiento pierde. Demuestre que el jugador $A$ tiene una estrategia ganadora.