5 Sea $A_0A_1...A_n$ ( $n > 2$ ) un polígono convexo plano de longitud $s$ con $A_0 \ne A_n$ . Sean los puntos $A_1$ , $ ...$ , $A_{n-1}$ situados en el mismo lado de la recta $g$ que pasa por $A_0$ y $A_n$ . Debe demostrarse que el área $F$ de la superficie resultante de la rotación del polígono alrededor de $g$ no es mayor que $\pi \frac{s^2}{2}$ , es decir, que se cumple $$F \le \pi \frac{s^2}{2}$$ Nota: Un polígono plano $A_0A_1...A_n$ se denomina convexo si el polígono encerrado por el segmento $A_0A_n$ delimita una superficie convexa.

4 Los vértices de un $n$-gono regular con centro $M$ se etiquetan secuencialmente como $P_1, P_2, ..., P_n$. a) Demuestre que los segmentos de recta $MP_k$ ($k = 1, 2, ..., n$) pueden trasladarse paralelamente a sí mismos de tal manera que, después de la traslación, formen los lados de un $n$-gono regular. b) Demuestre (por ejemplo, usando el teorema del inciso a)) que las siguientes relaciones son válidas para todo número natural $n$ mayor que $2$: $$\cos \frac{2\pi}{n}+ \cos \frac{4\pi}{n} + ... + \cos \frac{2\pi n}{n}= 0 $$ $$\sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + ... + \sin \frac{2\pi n}{n}= 0$$

2 Los ángulos interiores de un triángulo han sido medidos. La suma de los valores medidos $u, v, w$ obtenidos (como aproximaciones de las medidas reales de los ángulos interiores) es $180^o + \delta$ con $\delta \ne 0^o$. Se deben utilizar tres valores de corrección $x, y, z$ para modificar los valores medidos de tal manera que la suma de los valores resultantes $u + x$, $v + y$, $w + z$ sea igual a $180^o$. Demuestre que para todos los posibles valores de corrección $x, y, z$ bajo estas condiciones, el valor $S = x^2 + y^2 + z^2$ es mínimo si y solo si $x = y = z = -\frac{\delta}{3}$.

2 Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros para los cuales se satisface la ecuación: $$x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y^2$$

1 Sean dos vectores $\psi$ y $\zeta$ dados en un plano que son diferentes del vector nulo. Entonces, se define una sucesión de números reales mediante $$c_n = |\psi - n\zeta| \,\,\, \text{para} \,\,\, n = 1, 2, 3, ... (1).$$ Encuentre las condiciones necesarias y suficientes que deben especificarse para que la sucesión (1) sea a) estrictamente monótona creciente, b) estrictamente monótona decreciente. c) Si la sucesión (1) no es estrictamente monótona, se debe investigar si existe un número natural $n_0$ tal que la sucesión (1) tenga los intervalos de monotonía $1 \le n \le n_0$ y $n_0 < n$.

6B Para cada número natural $n \ge 5$, dé una partición de un $n$-gono regular y convexo en un número mínimo de a) todos triángulos acutángulos, b) todos triángulos obtusángulos. Nota: Una partición en triángulos se define como una partición del $n$-gono en la cual cada lado de un triángulo de la partición es, o bien simultáneamente un lado de otro triángulo de la partición, o bien uno de los lados del $n$-gono.

6 Demuestre el siguiente teorema: Si hay $n$ pares de puntos distintos $P_i$, $i = 1, 2, ..., n$, $n > 2$ en el espacio tridimensional, tales que cada uno de ellos está a una distancia menor de un mismo punto $Q$ que cualquier otro $P_i$, entonces $n < 15$.

544 ¿Existe un triángulo en el cual dos lados sean múltiplos enteros de la mediana correspondiente a dicho lado? ¿Existe un triángulo en el cual cada lado sea un múltiplo entero de la mediana correspondiente a dicho lado?

6 $R^n$ denota el conjunto de todas las $n$-tuplas de números reales. En $R^n$, la suma se define mediante $$(x_1, x_2, ..., x_n) + (y_1, y_2, ..., y_n) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, ..., x_n + y_n)$$ y la multiplicación por cualquier número real $\lambda$ se define mediante $$ \lambda (x_1, x_2, ..., x_n) = ( \lambda x_1, \lambda x_2, ..., \lambda x_n), \,\,\, \lambda \in R.$$ Sea $M$ un subconjunto de $R^n$ tal que: con $(x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n) \in M$, para todo $\lambda$ con $0 \le \lambda \le 1$, tenemos $$\lambda (x_1, x_2, ..., x_n) + (1 -\lambda)(y_1, y_2, ..., y_n) \in M$$ Una $n$-tupla $(s_1, s_2, ..., s_n) \in M$ se denomina un *-elemento de $M$ si de $$(s_1, s_2, ..., s_n) = \frac12(x_1, x_2, ..., x_n) +\frac12(y_1, y_2, ..., y_n)$$ con $(x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n) \in M$ se sigue que $$s_1 = x_1 = y_1, s_2 = x_2 = y_2, ..., s_n = x_n = y_n$$ y, por tanto, $(s_1, s_2, ..., s_n) = (x_1, x_2, ..., x_n) = (y_1, y_2, ..., y_n)$. Demuestre que $(s_1, s_2, ..., s_n)$ es un *-elemento si y solo si para cualquier $\lambda$ con $0 < \lambda < 1$, de $$(s_1, s_2, ..., s_n) = \lambda (x_1, x_2, ..., x_n) + (1 - \lambda)(y_1, y_2, ..., y_n)$$ con $(x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n) \in M$, siempre se sigue que $$s_1 = x_1 = y_1, s_2 = x_2 = y_2, ..., s_n = x_n = y_n$$ por lo tanto, $$(s_1, s_2, ..., s_n) = (x_1, x_2, ..., x_n) = (y_1, y_2, ..., y_n)$$

562 ¿Existe un entero de $4$ dígitos que no pueda convertirse en un múltiplo de $1992$ cambiando $3$ de sus dígitos?